Question

Докажите что: 1/3^2+1/6^2+...+1/(3n)^3 меньше 1/3n+1 при любом n принадлежащем N

Answer 1

1. Метод математической индукции.
Проверим для n=1
n^3+3n^2+5n+3=12 делится на 3, утверждение верно для n=1
n^3+3n^3+5n+3=12 делится на 3, утверждение верно для n=1
Пусть утверждение верно для всех n≤k, докажем его для n=k+1
(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)+3=
=k^3+3k^2+3k+1+3*(k^2+2k+1)+5k+5+3=
=k^3+3k^2+5k+3+3k^2+9k+9=
=(k^3+3k^2+5k+3)+3(k^2+3k+3)
(k^3+3k^2+5k+3) делится на 3 по предположению индукции, 3(k^2+3k+3) делится на 3, следовательно утверждение верно для n=k+1, следовательно утверждение верно для любых натуральных n.
Для тройки:
(k+1)^3+3(k+1)^3+5(k+1)+3=
=4(k^3+3k^3+3k+1)+5k+5+3=(4k^3+5k+3)+3*(4k^2+4k+3)
(4k^3+5k+3) делится на 3 по предположению индукции, 3*(4k^2+4k+3) делится на 3, следовательно утверждение верно для n=k+1, следовательно утверждение верно для любых натуральных n.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение методом математической индукции.

Базовый случай (n = 1): Подставим n = 1 в оба выражения: 1/3^2 < 1/3(1+1) 1/9 < 1/6

Утверждение верно для n = 1.

Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого k, то есть: 1/3^2 + 1/6^2 + ... + 1/(3k)^3 < 1/(3k+1)

Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для k+1, то есть: 1/3^2 + 1/6^2 + ... + 1/(3(k+1))^3 < 1/(3(k+1)+1)

Разделим оба выражения на 1/3^(k+1): (1/3^2 + 1/6^2 + ... + 1/(3k)^3)/(1/3^(k+1)) < (1/(3k+1))/(1/3^(k+1)) (1/3^2 + 1/6^2 + ... + 1/(3k)^3)/(1/3^(k+1)) < (1/3^(k+1))/(3k+1)

Мы заметим, что левая часть неравенства является суммой, а правая часть является одним членом. Теперь мы можем применить предположение индукции: (1/(3k+1))/(3k+1) < (1/3^(k+1))/(3k+1)

Упрощаем: 1/(3k+1) < 1/3^(k+1)

Таким образом, мы доказали, что утверждение верно для k+1, если оно верно для k.

По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.