Question

a, b, c – длины сторон некоторого треугольника.   докажите, что a^2(b+c-a) +b^2(a+c-b) + c^2(a+b-c)=<3abc

Answer 1

$a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c) \leq 3abc\\ b+c \geq a\\ a+c \geq b\\ a+b \geq c\\\\ a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c) \leq 3(b+c)(a+c)(a+b)$
$(b+c)(b+c-a)+(a+c)(a+c-b)+(a+b)(a+b-c)$ $\leq 3(b+c)(a+c)(a+b)$
 После преобразований получим 
  $(b+c)^2+(a+c)^2+(a+b)^2 \leq$ $3(b+c)(a+c)(a+b)+a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)$
С учетом неравенств 
$2a^2+2b^2+2c^2+2bc+2ac+2ab$ $\leq 3(b+c)(a+c)(a+b)+a^2+b^2+c^2$
$a^2+b^2+c^2+2bc+2ac+2ab \leq 3(b+c)(a+c)(a+b)$
$(a+b+c)^2 \leq 3(b+c)(a+c)(a+b)$
$(a+b)^2+(b+c)^2+((a+c)^2-(b^2+c^2+a^2)) \leq 3(b+c)(a+c)(a+b)\\ \frac{(a+b)^2+(b+c)^2+((a+c)^2-(b^2+c^2+a^2))}{3} \leq (b+c)(a+c)(a+b)$
пользуясь неравенством о средних 
$\sqrt[3]{(a+b)^2*(b+c)^2*((a+c)^2-(b^2+c^2+a^2))}$
очевидно что будет меньше правого 

Answer 2

Чтобы доказать неравенство a^2(b+c-a) + b^2(a+c-b) + c^2(a+b-c) ≤ 3abc, мы можем использовать метод полной индукции.

Индукционное предположение: Для треугольников со сторонами a, b и c, где a ≤ b ≤ c, неравенство a^2(b+c-a) + b^2(a+c-b) + c^2(a+b-c) ≤ 3abc выполняется.

База индукции: Рассмотрим треугольник со сторонами a, a и c (треугольник со стороной a и двумя равными сторонами). Подставим значения в неравенство:

a^2(a+c-a) + a^2(a+c-a) + c^2(a+a-c) = 2a^3 + c^2(2a - c)

Мы знаем, что 2a - c ≥ 0, так как a ≤ c (из-за треугольника со сторонами a, a и c). Поэтому c^2(2a - c) ≥ 0.

Таким образом, получаем: 2a^3 + c^2(2a - c) ≥ 2a^3.

Аналогично можно рассмотреть треугольники со сторонами a, b и b (треугольник со стороной b и двумя равными сторонами), и со сторонами a, b и c (обычный треугольник).

Шаг индукции: Предположим, что неравенство выполняется для треугольников со сторонами a, b и c. Рассмотрим треугольник со сторонами a, b и d, где a ≤ b ≤ d (из-за того, что длины сторон треугольника могут быть переставлены).

По неравенству треугольника, мы знаем, что d ≤ a + b.

Раскроем левую часть неравенства a^2(b+d-a) + b^2(a+d-b) + d^2(a+b-d):

a^2(b+d-a) + b^2(a+d-b) + d^2(a+b-d) = a^2b + a^2d - a^3 + b^2a + b^2d - b^3 + d^2a + d^2b - d^3

Мы можем заменить a^2d, b^2d и d^2a на 2abd, так как a ≤ b ≤ d. Аналогично, мы можем заменить a^3 и b^3 на 2ab(a+b). Это можно объяснить с помощью неравенства Мурхеда:

a^2d + b^2d + d^2a ≥ 3∛(a^2d * b^2d * d^2a) = 3∛(a^3b