Question

точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от его вершин. доказать что этот треугольник равносторонний

Answer 1

Чертеж во вложении.
Т.к. АК-биссектриса ∠А, то ∠1=∠2.
Т.к. ВМ-биссектриса ∠В, то ∠3=∠4.
Т.к. СЕ-биссектриса ∠С, то ∠5=∠6.
По условию ОА=ОВ=ОС. Значит, треугольники АОВ, АОС и ВОС - равнобедренные.У них в каждом углы при основании равны, т.е.
∠1=∠3, ∠2=∠6, ∠4=∠5. Отсюда следует, что  ∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6.
Тогда ∠1+∠2 =∠3+∠4= ∠5+∠6, т.е. ∠А=∠В=∠С.
В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Значит, АВ=ВС=АС.
Т.е. ∆АВС - равносторонний. Доказано.

Answer 2

Для доказательства, что треугольник является равносторонним, нам понадобится использовать свойства биссектрис треугольника.

Предположим, что треугольник ABC является треугольником, у которого точка пересечения биссектрис равноудалена от его вершин. Пусть точка пересечения биссектрис обозначается как I.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, биссектриса угла A делит сторону BC на две части, пропорциональные другим двум сторонам треугольника. Обозначим эти отношения как:

BC/AI = AB/BI ---- (1)

Аналогично, биссектриса угла B делит сторону AC на две части, пропорциональные другим двум сторонам треугольника:

AC/BI = BC/CI ---- (2)

Поскольку точка пересечения биссектрис равноудалена от вершин треугольника, то расстояния от I до вершин треугольника должны быть одинаковыми:

AI = BI = CI ---- (3)

Теперь рассмотрим отношение длин сторон треугольника, выраженное в уравнении (1):

BC/AI = AB/BI

Подставим AI = BI из уравнения (3):

BC/BI = AB/BI

Сократим BI на обеих сторонах:

BC = AB ---- (4)

Аналогично, рассмотрим уравнение (2):

AC/BI = BC/CI

Подставим AI = BI = CI из уравнения (3):

AC/BI = BC/BI

Сократим BI на обеих сторонах:

AC = BC ---- (5)

Из уравнений (4) и (5) следует, что AB = BC = AC, то есть все стороны треугольника равны. Это означает, что треугольник ABC является равносторонним.

Таким образом, мы доказали, что если точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от его вершин, то этот треугольник является равносторонним.