Question

Найти общее решение: 2y'=y^2/x^2+6*y/x+3

Answer 1

$2y'=\dfrac{y^2}{x^2}+6\cdot\dfrac{y}{x}+3$

Это дифференциальное уравнение является однородным. Воспользуемся заменой $y=ux$, тогда дифференцируя обе части, имеем $y'=u'x+u$. Подставляем в исходное уравнение

$2(u'x+u)=\dfrac{u^2x^2}{x^2}+6\cdot\dfrac{ux}{x}+3\\ \\ 2u'x+2u=u^2+6u+3\\ \\ 2u'x=u^2+4u+3$

Получили уравнение с разделяющимися переменными

$2\displaystyle \int\dfrac{du}{u^2+4u+3}=\int\dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~2\int\dfrac{d(u+2)}{(u+2)^2-1}=\int\dfrac{dx}{x}\\ \\ 2\cdot\dfrac{1}{2\cdot1}\ln\bigg|\dfrac{u+2-1}{u+2+1}\bigg|=\ln|x|+\ln C\\ \\ \\ \ln\bigg|\dfrac{u+1}{u+3}\bigg|=\ln\bigg|\dfrac{C}{x}\bigg|~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{u+1}{u+3}=\dfrac{C}{x}$

Сделаем обратную замену: u = y/x, получим

$\dfrac{\frac{y}{x}+1}{\frac{y}{x}+3}=\dfrac{C}{x}~~~\Rightarrow~~~\boxed{\dfrac{y+x}{y+3x}=\dfrac{C}{x}}$

Получили общий интеграл.

Answer 2

Чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения, мы можем воспользоваться методом переменных. Для начала, давайте заменим переменные: y = vx. Подставляя это в уравнение, получаем:

2(dy/dx) = (v^2 * x^2)/(x^2) + 6(v * x)/(x) + 3 2(dy/dx) = v^2 + 6v + 3

Теперь мы можем решить это уравнение с помощью разделения переменных:

(2/v^2 + 6v + 3) dv = dx

Давайте найдем интегралы с обеих сторон:

∫(2/v^2 + 6v + 3) dv = ∫dx

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

∫(2/v^2 + 6v + 3) dv = 2∫(1/v^2) dv + 6∫v dv + 3∫dv = 2(-1/v) + 6(v^2/2) + 3v + C1 = -2/v + 3v^2 + 3v + C1

∫dx = x + C2

Где C1 и C2 - произвольные константы.

Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения выглядит следующим образом:

-2/v + 3v^2 + 3v + C1 = x + C2

Обратите внимание, что v = y/x, поэтому мы можем вернуться к исходным переменным:

-2/(y/x) + 3(y/x)^2 + 3(y/x) + C1 = x + C2

Упростим это выражение:

-2x/y + 3(y^2/x^2) + 3(y/x) + C1 = x + C2

Мы можем домножить все члены на x/y для упрощения:

-2x^2/y + 3y^2 + 3xy + C1(x/y) = x^2 + C2(x/y)

Переименуем C1(x/y) и C2(x/y) в новые константы C3 и C4:

-2x^2/y + 3y^2 + 3xy + C3 = x^2 + C4

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения записывается следующим образом:

-2x^2/y + 3y^2 + 3xy = x^2 + C

Где C - произвольная константа.