Question

Доказать, что сумма чисел 2 в 2011 степени и 3 в 2011 степени кратна числу 5.

Answer 1

2²⁰¹¹+3²⁰¹¹=

при возведении 2 в степень в конце мы получаем числа

2;4;8;6;2

при возведении 3 в степень  в конце получаем числа

3;9;7;1;3

 

замечаем,что при возведении в степень кратную 10 сумма последних чисел будет кратна 5.и при возведении в степень ,у которой на конце число 1 тоже сумма будет кратна 5(2+3)значит и 2²⁰¹¹+3²⁰¹¹ будет кратна 5

Answer 2

Для доказательства этого факта воспользуемся свойством сравнений по модулю.

Пусть a = 2^2011 и b = 3^2011. Нам нужно показать, что a + b кратно 5.

Мы знаем, что a и b являются степенями 2 и 3 соответственно.

Рассмотрим остатки a и b при делении на 5:

a ≡ (2^2011) mod 5 b ≡ (3^2011) mod 5

Поскольку 2^2011 и 3^2011 являются большими числами, вычислить их непосредственно будет трудно. Однако мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая утверждает, что для любого простого числа p и целого числа a, не кратного p, справедливо следующее:

a^(p-1) ≡ 1 mod p

В нашем случае, мы можем применить эту теорему к числу 2 и 3 при p = 5:

2^4 ≡ 1 mod 5 3^4 ≡ 1 mod 5

Теперь мы можем переписать a и b, используя это свойство:

a = (2^4)^502 * 2^3 ≡ 1^502 * 2^3 ≡ 8 mod 5 b = (3^4)^502 * 3^3 ≡ 1^502 * 3^3 ≡ 27 mod 5

Теперь вычислим сумму a + b:

a + b ≡ 8 + 27 ≡ 35 mod 5

Мы видим, что сумма a + b имеет остаток 0 при делении на 5, что означает, что она кратна 5. Таким образом, мы доказали, что сумма чисел 2^2011 и 3^2011 кратна 5.