Question

Найдите наименьшее значение функции y=e^2x-8e^x+9 на отрезке [0;2]

Answer 1

производная правильно найдена но при уравнивании ее с нулем мы получим еще один корень натуральный логарифм 4

а при подстановке в исходное выражение получим -7

 

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = e^(2x) - 8e^x + 9 на отрезке [0;2], нужно найти критические точки функции внутри этого интервала.

Для этого вычислим производную функции y по x:

y' = 2e^(2x) - 8e^x

Затем найдем точки, в которых производная равна нулю:

2e^(2x) - 8e^x = 0

2e^x(e^x - 4) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения x:

e^x = 0 или e^x - 4 = 0

Первое уравнение e^x = 0 не имеет решений, так как экспоненциальная функция всегда положительна.

Второе уравнение e^x - 4 = 0 можно решить:

e^x = 4

x = ln(4)

Значение ln(4) примерно равно 1.386.

Теперь нам нужно проверить значения функции y в концах отрезка [0;2] и найденной критической точке x = ln(4).

y(0) = e^(2*0) - 8e^0 + 9 = 1 - 8 + 9 = 2

y(2) = e^(2*2) - 8e^2 + 9 = e^4 - 8e^2 + 9

y(ln(4)) = e^(2ln(4)) - 8e^(ln(4)) + 9 = 4^2 - 84 + 9 = 16 - 32 + 9 = -7

Таким образом, наименьшее значение функции y на отрезке [0;2] равно -7.