Question

Log3(cosx+sin2x+9)=2

Answer 1

Для решения данного уравнения сначала приведем его к более простому виду:

Шаг 1: Воспользуемся свойством логарифма: `log_a(b) = c` эквивалентно `a^c = b`. Применим это свойство к уравнению и возведем обе стороны в степень 3:

cosx + sin2x + 9 = 3^2

Шаг 2: Упростим уравнение:

cosx + sin2x + 9 = 9

Вычтем 9 из обеих сторон:

cosx + sin2x = 0

Шаг 3: Разложим `sin2x` по формуле двойного аргумента:

cosx + 2sinxcosx = 0

Шаг 4: Факторизуем уравнение:

cosx(1 + 2sinx) = 0

Теперь получили два уравнения:

1. `cosx = 0` 2. `1 + 2sinx = 0`

Шаг 5: Решим первое уравнение `cosx = 0`.

Значение `cosx` равно нулю в двух точках на интервале [0, 2π]: `x = π/2` и `x = 3π/2`.

Шаг 6: Решим второе уравнение `1 + 2sinx = 0`.

Вычтем 1 из обеих сторон:

2sinx = -1

Разделим обе стороны на 2:

sinx = -1/2

Значение `sinx` равно `-1/2` в двух точках на интервале [0, 2π]: `x = 7π/6` и `x = 11π/6`.

Таким образом, решения исходного уравнения `log3(cosx+sin2x+9)=2` на интервале [0, 2π] равны:

1. `x = π/2` 2. `x = 3π/2` 3. `x = 7π/6` 4. `x = 11π/6`