Question

Периметр ромба равен 4√10, а сумма его диагоналей равна 8. Найти площадь ромба.

Answer 1

Для нахождения площади ромба по заданным условиям, давайте воспользуемся известными формулами для периметра и диагоналей ромба.

Периметр ромба (P) равен четырем умножить корень из суммы квадратов его сторон. Если обозначить длину стороны ромба через "a", то формула для периметра будет следующей:

\[ P = 4a \]

По условию, периметр равен \(4\sqrt{10}\), поэтому:

\[ 4a = 4\sqrt{10} \]

Теперь разделим обе стороны на 4, чтобы найти длину стороны ромба "a":

\[ a = \sqrt{10} \]

Диагонали ромба делят его на четыре равные треугольные части. Если обозначить длины диагоналей через "d₁" и "d₂", то сумма диагоналей равна:

\[ d₁ + d₂ = 8 \]

Давайте представим ромб как два пересекающихся равнобедренных треугольника. Половина длины диагонали \(d₁/2\) - это высота такого треугольника, а основание - это половина длины стороны ромба \(a/2\). Используя теорему Пифагора, можем записать:

\[ \left(\frac{d₁}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 \]

Подставим значение \(a = \sqrt{10}\) и решим уравнение для \(d₁\):

\[ \left(\frac{d₁}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2 = (\sqrt{10})^2 \]

\[ \left(\frac{d₁}{2}\right)^2 + \frac{10}{4} = 10 \]

\[ \left(\frac{d₁}{2}\right)^2 = 10 - \frac{10}{4} \]

\[ \left(\frac{d₁}{2}\right)^2 = \frac{30}{4} \]

\[ \frac{d₁}{2} = \sqrt{\frac{30}{4}} \]

\[ \frac{d₁}{2} = \sqrt{\frac{15}{2}} \]

\[ d₁ = 2\sqrt{\frac{15}{2}} \]

Аналогично, для диагонали \(d₂\) получаем:

\[ d₂ = 2\sqrt{\frac{15}{2}} \]

Теперь у нас есть длины стороны ромба \(a\) и диагоналей \(d₁\) и \(d₂\). Мы можем использовать эти значения для нахождения площади ромба по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot d₁ \cdot d₂ \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{\frac{15}{2}} \cdot 2\sqrt{\frac{15}{2}} \]

\[ S = \sqrt{15} \cdot \sqrt{15} \]

\[ S = 15 \]

Итак, площадь ромба равна 15.