Question

Найдите точку максимума функции y = x³ - 300x +5

Answer 1

Хорошо, начнем с нахождения точки максимума для данной функции \(y = x^3 - 300x + 5\). Чтобы найти точку максимума, нужно найти критические точки, где производная функции равна нулю.

1. Найдем производную функции \(y\): \[y' = 3x^2 - 300\]

2. Поставим производную равной нулю и решим уравнение: \[3x^2 - 300 = 0\]

3. Решим уравнение для \(x\): \[3x^2 = 300\] \[x^2 = 100\] \[x = \pm 10\]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = -10\) и \(x = 10\).

4. Теперь проверим значение второй производной, чтобы определить, является ли точка точкой максимума или минимума. Возьмем вторую производную функции \(y''\): \[y'' = 6x\]

5. Подставим значения критических точек: \[y''(-10) = -60\] (отрицательное значение, значит, точка \(x = -10\) - точка максимума) \[y''(10) = 60\] (положительное значение, значит, точка \(x = 10\) - точка минимума)

Таким образом, точка максимума функции \(y = x^3 - 300x + 5\) находится при \(x = -10\). Чтобы найти соответствующее значение \(y\), подставим \(x = -10\) в исходную функцию:

\[y = (-10)^3 - 300(-10) + 5\]

\[y = -1000 + 3000 + 5\]

\[y = 2005\]

Итак, точка максимума функции - это \((-10, 2005)\).