Question

Пример 466 Найдите значение суммы

Answer 1

Пример 466: Найдите значение суммы

Решение:

Сумма, которую нужно найти, имеет вид:

$$S = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{n(n+1)}$$

Для вычисления этой суммы можно использовать метод разности соседних членов. Для этого нужно представить каждое слагаемое в виде разности двух дробей с одинаковым знаменателем:

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

Тогда сумма принимает вид:

$$S = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{11}\right)$$

Заметим, что в этой сумме все слагаемые, кроме первого и последнего, сокращаются. Остается только:

$$S = \frac{1}{1} - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$$

Ответ: значение суммы равно $\frac{10}{11}$.

Дополнительная информация:

- Сумма ряда — это результат сложения всех членов бесконечной последовательности. - Сумма конечного ряда — это результат сложения всех членов конечной последовательности. - Сумма арифметической прогрессии — это результат сложения всех членов последовательности, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. - Сумма геометрической прогрессии — это результат сложения всех членов последовательности, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число.

Если вам нужно вычислить сумму других рядов или прогрессий, вы можете использовать онлайн калькуляторы, которые доступны по ссылкам ниже .