Question

Решите уравнение: 3cos^2x-5cosx-8=0

Answer 1

Для решения данного уравнения сначала заменим cos^2x на (1-sin^2x) с использованием тригонометрической тождества cos^2x = 1 - sin^2x:

3(1-sin^2x) - 5cosx - 8 = 0

Распишем:

3 - 3sin^2x - 5cosx - 8 = 0

-3sin^2x - 5cosx - 5 = 0

Заменим cosx на √(1-sin^2x) с использованием тригонометрической тождества cosx = √(1-sin^2x):

-3sin^2x - 5√(1-sin^2x) - 5 = 0

Теперь заменим sin^2x на t:

-3t - 5√(1-t) - 5 = 0

Разделим обе части уравнения на -5:

3t + √(1-t) + 1 = 0

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

(3t + √(1-t) + 1)^2 = 0

Раскроем скобки и упростим:

9t^2 + 6t√(1-t) + 3t + 6t√(1-t) + 1 - 2√(1-t) + 1 = 0

9t^2 + 12t√(1-t) + 2 - 2√(1-t) = 0

Теперь сгруппируем слагаемые:

(9t^2 + 2) + (12t√(1-t) - 2√(1-t)) = 0

9t^2 + 2 + 2√(1-t)(6t - 1) = 0

Теперь факторизуем выражение в скобках:

(6t - 1)(2√(1-t) + 1) = 0

Из первого множителя получаем:

6t - 1 = 0 t = 1/6

Из второго множителя получаем:

2√(1-t) + 1 = 0

Вычитаем 1 с обеих сторон:

2√(1-t) = -1

Делим обе части на 2:

√(1-t) = -1/2

Возведем обе части уравнения в квадрат:

1-t = 1/4

Вычитаем 1/4 с обеих сторон:

-t = 1/4 - 1

-t = -3/4

Умножаем обе части на -1:

t = 3/4

Таким образом, получаем два возможных значения t: t = 1/6 и t = 3/4.

Возвращаемся к исходной переменной sin^2x:

При t = 1/6:

sin^2x = 1/6

sinx = ±√(1/6)

При t = 3/4:

sin^2x = 3/4

sinx = ±√(3/4)

Таким образом, уравнение имеет четыре решения:

sinx = ±√(1/6) sinx = ±√(3/4)