Question

Полный дифференциал Z=arctg √(x^y)

Answer 1

Для решения этой задачи нам потребуется использовать понятие полного дифференциала. Полный дифференциал функции Z определяется следующим образом:

dZ = (∂Z/∂x)dx + (∂Z/∂y)dy

где (∂Z/∂x) и (∂Z/∂y) обозначают частные производные функции Z по переменным x и y соответственно.

Давайте найдем эти частные производные.

Для начала, найдем (∂Z/∂x):

(∂Z/∂x) = (∂/∂x) arctg(√(x^y))

Чтобы найти эту производную, мы можем использовать цепное правило дифференцирования. Поскольку функция arctg(√(x^y)) содержит сложную функцию внутри себя, нам нужно применить цепное правило.

Пусть u = √(x^y). Тогда функция Z = arctg(u).

Теперь мы можем выразить (∂Z/∂x) через (∂u/∂x):

(∂Z/∂x) = (∂Z/∂u) * (∂u/∂x)

(∂Z/∂u) = 1/(1 + u^2) # Производная arctg(u) по u (∂u/∂x) = (∂/∂x) √(x^y)

Теперь нам нужно найти (∂u/∂x). Для этого мы можем использовать цепное правило снова:

v = x^y u = √v

(∂u/∂x) = (∂u/∂v) * (∂v/∂x)

(∂u/∂v) = 1/(2√v) # Производная √v по v (∂v/∂x) = (∂/∂x) x^y

Для нахождения (∂v/∂x) мы должны использовать правило степенной производной:

(∂v/∂x) = y * x^(y-1)

Теперь у нас есть все необходимые частные производные. Подставим их в формулу для полного дифференциала:

dZ = (∂Z/∂x)dx + (∂Z/∂y)dy

dZ = (1/(1 + u^2)) * (1/(2√v)) * y * x^(y-1) * dx + (∂Z/∂y)dy

где u = √(x^y) и v = x^y.

Полный дифференциал функции Z равен:

dZ = (y * x^(y-1))/(2(1 + x^y)) * dx + (∂Z/∂y)dy

Итак, мы получили полный дифференциал функции Z. Если вам требуется более конкретная информация или объяснение, пожалуйста, уточните ваш вопрос.