Question

Вычислите интеграл arctg4xdx

Answer 1

Для вычисления интеграла от arctg(4x)dx воспользуемся методом интегрирования по частям.

Интегрирование по частям формулируется следующим образом: ∫u*dv = u*v - ∫v*du,

где u и v - функции от переменной x, а du и dv - их соответствующие дифференциалы.

Выберем: u = arctg(4x), dv = dx.

Тогда получаем: du = (1/(1+(4x)^2)) * 4 dx = 4/(1+16x^2) dx, v = ∫dv = ∫dx = x.

Подставим значения в формулу интегрирования по частям: ∫arctg(4x)dx = u*v - ∫v*du = arctg(4x)*x - ∫x*(4/(1+16x^2)) dx.

Интеграл ∫x*(4/(1+16x^2)) dx несложно вычислить, применив замену переменных. Пусть t = 1 + 16x^2, тогда dt = 32x dx, откуда dx = dt/(32x). Подставляем в интеграл: ∫x*(4/(1+16x^2)) dx = ∫(t-1)/32 dt = (1/32) ∫(t-1) dt = (1/32) * (t^2/2 - t) + С, где С - постоянная интегрирования.

Возвращаемся к исходному интегралу: ∫arctg(4x)dx = arctg(4x)*x - (1/32) * (t^2/2 - t) + C,

или ∫arctg(4x)dx = x*arctg(4x) - (1/32) * ((1+16x^2)^2/2 - (1+16x^2)) + C.

Таким образом, интеграл от arctg(4x)dx равен x*arctg(4x) - (1/32) * ((1+16x^2)^2/2 - (1+16x^2)) + C, где C - постоянная интегрирования.