Question

Найдите угол между прямыми 2х-у+8=0 и 2х+5у-4=0

Answer 1

Для нахождения угла между двумя прямыми воспользуемся формулой:

cos(θ) = (m₁ * m₂) / √(1 + m₁²) * √(1 + m₂²)

где m₁ и m₂ - направляющие коэффициенты прямых.

Направляющие коэффициенты прямых можно найти из уравнений прямых, выражая уравнения вида y = mx + c, где m - направляющий коэффициент.

Для первой прямой уравнение можно представить в виде:

y = (2/1)x + 8/1

Из этого уравнения получаем, что направляющий коэффициент m₁ = 2/1 = 2.

Для второй прямой:

y = (-2/5)x + 4/5

Отсюда получаем, что направляющий коэффициент m₂ = -2/5.

Подставим значения в формулу для cos(θ):

cos(θ) = ((2/1) * (-2/5)) / (√(1 + (2/1)²) * √(1 + (-2/5)²))

(2/1)² = 4/1 = 4 (-2/5)² = 4/25

cos(θ) = (-4/5) / (√(1 + 4) * √(1 + 4/25))

√(1 + 4) = √(5) = √(5) √(1 + 4/25) = √(29/25) = √(29)/√(25) = √(29)/5

cos(θ) = (-4/5) / (√(5) * √(29)/5)

Упростим выражение:

cos(θ) = (-4/5) * (1/(√(5) * √(29)/5))

Умножим числитель и знаменатель на √(5) и упростим:

cos(θ) = (-4/5) * (5/(√(5) * √(29)))

Сократим 5:

cos(θ) = -4/(√(5) * √(29))

Теперь найдем cos(θ) по таблице значений косинусов или с помощью калькулятора. Пусть cos(θ) = a.

a = -4/(√(5) * √(29))

Теперь найдем арккосинус a, чтобы найти значение угла θ. Пусть θ = arcsin(a).

θ = arcsin(-4/(√(5) * √(29)))

Итак, угол между данными прямыми равен θ = arcsin(-4/(√(5) * √(29))) (в радианах).