Question

X4 - 3x3 - Ax2 + 203x + B = 0 Ур-е имеет целые корни: два совпадающих и еще два различных. Восстановите уравнение и найдите его корни, если известно, что квадрат одного из корней кратности 1, уменьшенный на 2,совпадает с корнем кратности 2.

Answer 1

Пусть корни уравнения обозначены как a, a, b, c.

Так как у нас есть два совпадающих корня, то уравнение можно записать в виде: (x - a)^2(x - b)(x - c) = 0

Также известно, что квадрат одного из корней, уменьшенный на 2, совпадает с корнем кратности 2. Это означает, что (a - 2)^2 = b.

Подставим это значение в уравнение: (x - a)^2(x - (a - 2)^2)(x - c) = 0

Раскроем скобки: (x - a)^2(x^2 - 2ax + a^2 - c)(x - c) = 0

Раскроем еще одну скобку: (x - a)^2(x^3 - (2a + c)x^2 + (a^2 - ac)x - ac + a^2c) = 0

Так как у нас есть еще два различных корня, то уравнение можно записать в виде: (x - a)^2(x - b)(x - c) = 0

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений: 2a + c = 3a a^2 - ac = A ac - a^2c = B

Решая эту систему уравнений, получаем значения a, b, c.

Зная значения a, b, c, можно найти корни уравнения.