Question

Площа круга , вписаного у рівносторонній трикутник , дорівнює 16п см2 . Знайти сторону трикутника , радіуси вписаного й описаного навколо нього кіл .​

Answer 1

Давайте обозначим площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник, через \( S \). Площадь круга связана с его радиусом формулой \( S = \pi r^2 \), где \( \pi \) - математическая константа, приблизительно равная 3.14159, а \( r \) - радиус круга.

У нас дано, что \( S = 16\pi \, \text{см}^2 \), поэтому:

\[ 16\pi = \pi r^2 \]

Делим обе стороны на \( \pi \):

\[ r^2 = 16 \]

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

\[ r = 4 \, \text{см} \]

Таким образом, радиус вписанного круга равен 4 см.

Теперь рассмотрим равносторонний треугольник. В равностороннем треугольнике все стороны равны. Пусть \( a \) - длина стороны треугольника.

Также, радиус вписанного круга связан с стороной треугольника формулой:

\[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

Теперь мы знаем, что \( r = 4 \), поэтому:

\[ 4 = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

Умножаем обе стороны на \( 2\sqrt{3} \):

\[ 8\sqrt{3} = a \]

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна \( 8\sqrt{3} \) см.

Теперь, если мы знаем сторону равностороннего треугольника, мы можем найти радиусы вписанного и описанного окружностей. Радиус вписанного круга (вписанной окружности) равен \( r \), а радиус описанного круга (описанной окружности) равен \( R \), где:

\[ R = \frac{a}{2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)} \]

\[ R = \frac{8\sqrt{3}}{2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)} \]

\[ R = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]

\[ R = 8 \]

Таким образом, радиус описанной окружности равен 8 см.

Итак, чтобы подытожить:

- Сторона равностороннего треугольника \( a = 8\sqrt{3} \) см. - Радиус вписанного круга \( r = 4 \) см. - Радиус описанного круга \( R = 8 \) см.