Question

Решите уравнение. 2sin^2x+sinxcosx−cos^2x=0

Answer 1

Давайте решим уравнение \(2\sin^2x + \sin x \cos x - \cos^2x = 0\). Для удобства введем обозначения: \(u = \sin x\) и \(v = \cos x\). Тогда уравнение примет вид:

\[2u^2 + uv - v^2 = 0.\]

Теперь попробуем его факторизовать. Уравнение выглядит как квадратное относительно \(u\):

\[2u^2 + uv - v^2 = (2u - v)(u + v) = 0.\]

Таким образом, у нас есть два множителя, которые могут быть равны нулю:

1. \(2u - v = 0\) 2. \(u + v = 0\)

Давайте решим каждое уравнение отдельно.

1. \(2u - v = 0\): \[2\sin x - \cos x = 0\] \[2\sin x = \cos x\] \[\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, одно из решений этого уравнения - \(x = \arctan\left(\frac{1}{2}\)\).

2. \(u + v = 0\): \[\sin x + \cos x = 0\]

Данное уравнение можно решить, например, делением на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x \neq 0\)):

\[\tan x + 1 = 0\] \[\tan x = -1\]

Таким образом, другое решение - \(x = \arctan(-1)\).

Теперь у нас есть два решения для уравнения \(2\sin^2x + \sin x \cos x - \cos^2x = 0\):

1. \(x = \arctan\left(\frac{1}{2}\)\) 2. \(x = \arctan(-1)\)