Question

Площадь прямоугольного треугольника 6см2. Найдите наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе треугольника?

Answer 1

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника через \(a\) и \(b\), а гипотенузу через \(c\). Тогда у нас есть следующее уравнение:

\[ \frac{1}{2}ab = 6 \]

Отсюда можно выразить один из катетов через другой:

\[ ab = 12 \]

Теперь рассмотрим квадрат, построенный на гипотенузе. Пусть \(x\) - длина стороны квадрата. Так как это квадрат, то и его стороны равны, и площадь квадрата равна \(x^2\).

Также у нас есть теорема Пифагора для этого треугольника:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Мы хотим найти минимальное значение \(x^2\), и для этого нужно минимизировать \(c\). Воспользуемся тем, что \(c^2 = a^2 + b^2\).

Теперь у нас есть две формулы:

\[ ab = 12 \] \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Умножим первое уравнение на 4 и сложим с вторым уравнением:

\[ 4ab + a^2 + b^2 = 4 \cdot 12 + c^2 \]

Подставим \(ab = 12\):

\[ 48 + a^2 + b^2 = 48 + c^2 \]

Теперь сократим обе стороны на 4:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Это тождественное уравнение, которое верно для любого прямоугольного треугольника. Таким образом, минимальное значение \(x^2\) равно \(c^2\), и оно достигается при \(a = b = \sqrt{\frac{ab}{2}}\).

Теперь подставим \(ab = 12\) в эту формулу:

\[ a = b = \sqrt{\frac{12}{2}} = \sqrt{6} \]

Таким образом, минимальное значение \(x^2\) равно \(c^2 = a^2 + b^2 = 6 + 6 = 12\). Так что наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника, равно 12 квадратным сантиметрам.