Question

Найдите производную y=x+2/x^3 в точке х0=-1

Answer 1

Для нахождения производной функции y = x + 2/x^3 в точке x0 = -1, мы можем использовать правило дифференцирования суммы, разности и произведения функций, а также правило дифференцирования обратной функции.

Давайте найдем производную функции y по переменной x поэтапно.

Шаг 1: Разложение функции Исходную функцию y = x + 2/x^3 можно переписать в виде суммы двух функций: y = x + 2x^(-3).

Шаг 2: Нахождение производной каждого слагаемого Для первого слагаемого y1 = x, производная по переменной x равна 1.

Для второго слагаемого y2 = 2x^(-3), мы можем использовать правило дифференцирования произведения функций, а именно: (uv)' = u'v + uv', где u = 2, v = x^(-3).

Производная первого слагаемого y2' = 0 (поскольку константа 2 не зависит от x). Производная второго слагаемого y2' = (2)(-3x^(-4)) = -6x^(-4).

Шаг 3: Нахождение производной суммы Теперь мы можем применить правило дифференцирования суммы функций, а именно: (u + v)' = u' + v', где u = x, u' = 1, v = 2x^(-3), v' = -6x^(-4).

Производная функции y = x + 2/x^3 равна сумме производных двух слагаемых: y' = y1' + y2' = 1 + (-6x^(-4)) = 1 - 6/x^4.

Шаг 4: Вычисление производной в точке х0 = -1 Чтобы найти производную функции в точке x = -1, мы можем просто подставить значение x0 в выражение для производной: y'(-1) = 1 - 6/(-1)^4 = 1 - 6/1 = 1 - 6 = -5.

Таким образом, производная функции y = x + 2/x^3 в точке x0 = -1 равна -5.