Question

Помогите,у меня не получается,с обьяснением пожалуйста: найдите сумму первых шести членов арифметической прогресси если сумма второго и десятого членов прогрессии равна-3,а произведение третьего и девятого равно -40

Answer 1

Давайте обозначим общий член арифметической прогрессии через \(a_n\), где \(n\) - номер члена прогрессии.

Так как сумма второго и десятого членов прогрессии равна -3, мы можем записать уравнение:

\[a_2 + a_{10} = -3.\]

Также известно, что произведение третьего и девятого членов равно -40:

\[a_3 \cdot a_9 = -40.\]

Для арифметической прогрессии общий член можно выразить через первый член (\(a_1\)), разность прогрессии (\(d\)) и номер члена прогрессии (\(n\)):

\[a_n = a_1 + (n-1)d.\]

Теперь мы можем использовать эти формулы для решения системы уравнений. Для начала найдем разность прогрессии (\(d\)).

Используем уравнение для суммы:

\[a_2 + a_{10} = a_1 + a_1 + d + a_1 + 9d = 3a_1 + 10d = -3.\]

Также, учитывая, что произведение третьего и девятого членов равно -40, мы можем написать:

\[(a_1 + 2d)(a_1 + 8d) = -40.\]

Раскроем скобки и упростим:

\[a_1^2 + 10ad + 16d^2 = -40.\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} 3a_1 + 10d = -3, \\ a_1^2 + 10ad + 16d^2 = -40. \end{cases}\]

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения для первого члена (\(a_1\)) и разности прогрессии (\(d\)). После этого можно найти сумму первых шести членов прогрессии, используя формулу суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d].\]

В данном случае, \(n = 6\). Подставим найденные значения для \(a_1\) и \(d\) в эту формулу и вычислим сумму первых шести членов прогрессии.