Question

На научную конференцию приехали ученые из нескольких университетов. На церемонии открытия конференции оказалось, что у каждого ученого имеется ровно 9 знакомых среди присутствующих, и есть те, с кем он не знаком. Сколько ученых приехало на конференцию, если перед церемонией открытия все знакомые между собой ученый поздоровались, пожав друг другу руку, и при этом было сделано не более 60 рукопожатий?

Answer 1

Предположим, что на конференцию приехало n ученых.

Каждый ученый имеет ровно 9 знакомых среди присутствующих, поэтому каждый ученый должен пожать руку 9 раз.

Так как перед церемонией открытия все знакомые между собой ученые поздоровались, пожав друг другу руку, то общее количество рукопожатий будет равно половине от суммы всех рукопожатий ученых.

Таким образом, общее количество рукопожатий равно (9 * n) / 2.

Из условия известно, что общее количество рукопожатий не превышает 60.

Поэтому, (9 * n) / 2 <= 60.

Умножим обе части неравенства на 2:

9 * n <= 120.

Разделим обе части неравенства на 9:

n <= 120 / 9.

n <= 13.33.

Так как количество ученых должно быть целым числом, то на конференцию приехало не более 13 ученых.

Также из условия известно, что у каждого ученого есть те, с кем он не знаком. Это означает, что каждый ученый знаком с (n - 1) ученым.

Таким образом, количество знакомств каждого ученого равно 9, а общее количество знакомств всех ученых равно 9 * n.

Из этого следует, что общее количество знакомств всех ученых равно сумме всех знакомств каждого ученого:

9 * n = 9 * (n - 1) + 9.

Раскроем скобки:

9 * n = 9 * n - 9 + 9.

Упростим:

0 = 0.

Таким образом, условие выполнено, и ответом будет любое целое число от 1 до 13.