Question

Нильс летел в стае на спине гуся Мартина. Он обратил внимание, что построение стаи напоминает треугольник: впереди вожак, затем два гуся, в третьем ряду три гуся и т. д.        Стая остановилась на ночлег на льдине. Нильс увидел, что расположение гусей на этот раз напоминает квадрат, состоящий из рядов, в каждом ряду одинаковое количество гусей, причём число гусей в каждом ряду равно числу рядов. Гусей в стае меньше  50. Сколько гусей в стае?

Answer 1

Давайте обозначим количество гусей в каждом ряду через \( n \), а количество рядов через \( m \).

Исходное построение стаи напоминало треугольник, и мы видим, что в первом ряду 1 гусь (впереди вожак), во втором ряду 2 гуся, в третьем - 3 гуся, и так далее. Сумма гусей в каждом ряду равна:

\[ 1 + 2 + 3 + \ldots + n \]

Это арифметическая прогрессия, и её сумма выражается формулой Гаусса:

\[ S_1 = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} \]

Где \( S_1 \) - сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии.

Теперь, когда стая остановилась на ночлеге на льдине, появился квадрат. В каждом ряду одинаковое количество гусей, и число гусей в каждом ряду равно числу рядов. Таким образом, сумма гусей в каждом ряду равна:

\[ n + (n+1) + (n+2) + \ldots + (n+m-1) \]

Также это арифметическая прогрессия, и её сумма равна:

\[ S_2 = m \cdot n + \frac{m \cdot (m-1)}{2} \]

Мы знаем, что гусей в стае меньше 50, поэтому \( S_1 + S_2 < 50 \). Подставим значения \( S_1 \) и \( S_2 \):

\[ \frac{n \cdot (n + 1)}{2} + m \cdot n + \frac{m \cdot (m-1)}{2} < 50 \]

Теперь мы можем решить это уравнение, учитывая, что \( n \) и \( m \) - целые положительные числа. Подберем подходящие значения для \( n \) и \( m \), чтобы удовлетворить условию неравенства. Например, можно начать с \( n = 1 \) и увеличивать значения, пока не найдем подходящий вариант.