Question

РГЗ по математике "Изменение площади криволинейной трапеции с помощью интеграла" y=(2-x)*(2x-3) и осью OX.Решите пожалуйста!!!

Answer 1

Конечно, задача о изменении площади криволинейной трапеции с помощью интеграла может быть решена по шагам.

У вас дана функция \( y = (2 - x) \cdot (2x - 3) \) и ось OX. Для нахождения площади криволинейной трапеции между графиком функции, осью OX и двумя вертикальными прямыми \( x = a \) и \( x = b \) (где \( a \) и \( b \) - точки пересечения графика функции с осью OX), нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти точки пересечения графика с осью OX

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью OX, решим уравнение \( y = 0 \):

\[ (2 - x) \cdot (2x - 3) = 0 \]

Это уравнение имеет два корня. Найдем их:

\[ \begin{align*} 2 - x &= 0 \implies x &= 2 \\ 2x - 3 &= 0 \implies x &= \frac{3}{2} \end{align*} \]

Таким образом, точки пересечения графика с осью OX: \( x = 2 \) и \( x = \frac{3}{2} \).

Шаг 2: Найти площадь криволинейной трапеции

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции между функцией \( y = f(x) \) и осью OX на отрезке от \( x = a \) до \( x = b \):

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \]

Теперь мы можем найти площадь криволинейной трапеции между \( x = 2 \) и \( x = \frac{3}{2} \) по формуле:

\[ S = \int_{\frac{3}{2}}^{2} |(2 - x) \cdot (2x - 3)| \, dx \]

Далее, выполним интегрирование этой функции. Вычисление этого определенного интеграла может быть сложным вручную. Мы можем использовать программное обеспечение для математических вычислений, такое как Python с библиотекой SymPy или использовать онлайн-калькуляторы и компьютерные программы для выполнения интегрирования численно или аналитически.

Использование Python и библиотеки SymPy:

from sympy import symbols, integrate

x = symbols('x')
f_x = (2 - x) * (2 * x - 3)
area = integrate(abs(f_x), (x, 3/2, 2))
print(area)

Полученное значение переменной `area` будет показывать площадь криволинейной трапеции между \( x = 2 \) и \( x = \frac{3}{2} \).

Заметьте, что точные значения интегралов могут быть сложными для вычисления вручную из-за сложности функции. Если вам нужен численный ответ, могу порекомендовать использовать интегральные калькуляторы онлайн или программное обеспечение для вычисления этого интеграла.