Question

2. Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, можно воспользоваться формулой арифметической прогрессии, так как каждый следующий день альпинисты поднимаются на определенное фиксированное количество метров меньше, чем в предыдущий.

Обозначим высоту, на которую поднимаются альпинисты в первый день, как \( a \), и разность прогрессии (количество метров, на которое уменьшается высота каждый следующий день), как \( d \). Тогда прогрессия будет выглядеть следующим образом:

1. День: \( a \) метров 2. День: \( a - d \) метров 3. День: \( a - 2d \) метров 4. День: \( a - 3d \) метров 5. И так далее...

Мы знаем, что альпинисты поднимаются на высоту 5000 метров. Это означает, что сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии равна 5000. Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a + (n-1)d\right) \]

В нашем случае \( S_n = 5000 \). Заметим, что \( a = 1400 \), так как это высота в первый день, и \( d \) — шаг уменьшения высоты каждый следующий день.

Подставим известные значения и решим уравнение:

\[ 5000 = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 1400 + (n-1)d\right) \]

\[ 5000 = n(2800 + (n-1)d) \]

Теперь нужно решить это уравнение. Однако, заметим, что у нас две неизвестные: \( n \) и \( d \). Мы можем воспользоваться вторым условием задачи, что на каждом следующем дне альпинисты проходят на 100 меньше, чем в предыдущий. Это означает, что \( d = 100 \).

Подставим \( d = 100 \) в уравнение:

\[ 5000 = n(2800 + (n-1) \cdot 100) \]

Решим уравнение и найдем значение \( n \). После этого мы сможем узнать, за сколько дней альпинисты покорили высоту в 5000 метров.