Question

Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если сумма третьего и восемнадцатого членов равна 8.

Answer 1

Для решения этой задачи, давайте обозначим общий член арифметической прогрессии через \(a_n\), где \(n\) - номер члена прогрессии.

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии можно выразить следующей формулой:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d) \]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член, \(d\) - разность арифметической прогрессии.

Мы знаем, что сумма третьего и восемнадцатого членов равна 8:

\[ S_3 + S_{18} = 8 \]

Подставим формулу суммы в это уравнение:

\[ \frac{3}{2} \cdot (2a_1 + 2d) + \frac{18}{2} \cdot (2a_1 + 17d) = 8 \]

\[ 3(2a_1 + 2d) + 18(2a_1 + 17d) = 16 \]

Раскроем скобки:

\[ 6a_1 + 6d + 36a_1 + 306d = 16 \]

\[ 42a_1 + 312d = 16 \]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает первый член и разность арифметической прогрессии.

Также, у нас есть формула для суммы первых \(n\) членов:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d) \]

Теперь мы можем использовать эту формулу для нахождения суммы первых 20 членов арифметической прогрессии. Подставим \(n = 20\) и используем найденные значения для \(a_1\) и \(d\).

\[ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (2a_1 + (20-1)d) \]

Теперь мы можем решить систему уравнений, чтобы найти значения \(a_1\) и \(d\), затем подставить их в формулу для \(S_{20}\). Однако, это может потребовать дополнительной информации или допущений о прогрессии, чтобы система была однозначно решаемой.