Question

Найдите все значения а,при которых уравнение не имеет решений a(x^2+x^-2)-(a+1)(x+x^-1)+5=0

Answer 1

Дано уравнение a(x^2 + x^-2) - (a + 1)(x + x^-1) + 5 = 0.

Для начала, заметим, что данное уравнение является квадратным относительно переменной x, если воспользоваться заменой переменной t = x + x^-1.

Подставим t вместо x в исходное уравнение и упростим:

a(x^2 + x^-2) - (a + 1)(x + x^-1) + 5 = 0 a(t^2 - 2) - (a + 1)t + 5 = 0

Теперь полученное уравнение является квадратным относительно переменной t.

Для того чтобы уравнение не имело решений, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть отрицательным.

Дискриминант D квадратного уравнения at^2 - (2a + a + 1)t + (5a - 10) равен:

D = (2a + a + 1)^2 - 4a(5a - 10) D = 9a^2 + 4a + 1 - 20a^2 + 40a D = -11a^2 + 44a + 1

Таким образом, чтобы уравнение не имело решений, необходимо, чтобы дискриминант D был отрицательным:

-11a^2 + 44a + 1 < 0

Для решения этого неравенства можно воспользоваться графиком функции y = -11a^2 + 44a + 1 и найти интервалы, на которых значение функции отрицательно.

Построим график функции y = -11a^2 + 44a + 1:

[График]

Из графика видно, что функция имеет два корня: a ≈ 0.09 и a ≈ 3.91. Значения a, при которых уравнение не имеет решений, лежат в интервале (0.09, 3.91).

Таким образом, все значения a, при которых уравнение не имеет решений, лежат в интервале (0.09, 3.91).