Question

лодка проплыла 14км по течению и 9км против течение реки, затратив на весь путь столько времени сколько она затратила бы, проплыв 25 км по озеру. Найдите собственную скорость лодки, если скорость реки равна 2км/ч

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся формулой движения:

\[ \text{Скорость} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Время}} \]

Обозначим скорость лодки как \( v \) (в км/ч), тогда:

1. Скорость лодки относительно воды в направлении течения реки: \( v + 2 \) (скорость лодки плюс скорость течения реки). 2. Скорость лодки относительно воды в направлении против течения реки: \( v - 2 \) (скорость лодки минус скорость течения реки).

Используем эти выражения для расчета времени движения лодки по течению и против течения:

1. По течению: \[ t_1 = \frac{14}{v + 2} \] 2. Против течения: \[ t_2 = \frac{9}{v - 2} \]

Общее время движения лодки по реке: \[ t_1 + t_2 \]

Также у нас есть сравнение с временем движения по озеру: \[ t_{\text{озеро}} = \frac{25}{v} \]

Условие задачи гласит, что общее время движения по реке равно времени движения по озеру:

\[ t_1 + t_2 = t_{\text{озеро}} \]

Подставим значения:

\[ \frac{14}{v + 2} + \frac{9}{v - 2} = \frac{25}{v} \]

Теперь решим этое уравнение. Умножим все части на \(v(v+2)(v-2)\) (общее произведение знаменателей) для избавления от дробей:

\[ 14v(v-2) + 9v(v+2) = 25(v+2)(v-2) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 14v^2 - 28v + 9v^2 + 18v = 25(v^2 - 4) \]

\[ 23v^2 - 10v = 25v^2 - 100 \]

\[ 2v^2 - 90v + 100 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 2\), \(b = -90\), \(c = 100\). Подставим значения:

\[ v = \frac{90 \pm \sqrt{(-90)^2 - 4(2)(100)}}{2(2)} \]

\[ v = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 800}}{4} \]

\[ v = \frac{90 \pm \sqrt{7300}}{4} \]

\[ v = \frac{90 \pm 85.44}{4} \]

Теперь у нас есть два варианта:

1. \( v_1 = \frac{90 + 85.44}{4} \approx 43.36 \) км/ч 2. \( v_2 = \frac{90 - 85.44}{4} \approx 1.14 \) км/ч

Ответ: С учетом физического смысла задачи, скорость лодки равна приблизительно 43.36 км/ч.