Question

три числа образуют убывающую геометрическую прогрессию, если среднее из них увеличить в 5 раз, а наименьшее оставить без изменения то получится арифметическая прогрессия .Найти знаменатель арифметической прогрессии

Answer 1

Давайте обозначим три числа геометрической прогрессии как a, ar и ar^2, где a - первый член прогрессии, а r - знаменатель прогрессии.

Итак, у нас есть следующие условия:

1. a > ar > ar^2 (убывающая геометрическая прогрессия).

2. (a + ar + ar^2) / 3 * 5 = ar + 5 (среднее из чисел увеличено в 5 раз, а наименьшее без изменений).

Разберемся с уравнением:

(a + ar + ar^2) / 3 * 5 = ar + 5 5(a + ar + ar^2) = 3ar + 15 5a + 5ar + 5ar^2 = 3ar + 15 5a + 5ar^2 = 15 5(a + ar^2) = 15 a + ar^2 = 3

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a > ar > ar^2 2. a + ar^2 = 3

Используем уравнение (2) для выражения a через r:

a = 3 - ar^2

Подставим это выражение в неравенство (1):

(3 - ar^2) > ar > ar^2

Решим неравенства:

1. ar < 3 - ar^2 2. ar > ar^2

Также имеем:

a + ar^2 = 3

Теперь давайте решим систему уравнений и неравенств. Сначала рассмотрим неравенство (2):

ar > ar^2 0 > ar^2 - ar 0 > ar(ar - 1)

Так как a > ar > ar^2, значит, ar(ar - 1) < 0. Это возможно только при ar > 0 и ar - 1 < 0, что означает 0 < ar < 1.

Теперь рассмотрим неравенство (1):

ar < 3 - ar^2 0 < 3 - ar^2 - ar 0 < 3 - ar(ar + 1)

Так как 0 < ar < 1, то ar + 1 > 1, и умножив на отрицательный ar, мы получим отрицательное число. Таким образом, неравенство остается справедливым.

Таким образом, условия системы уравнений и неравенств выполняются при 0 < ar < 1.

Теперь возвращаемся к уравнению (2):

a + ar^2 = 3 (3 - ar^2) + ar^2 = 3 3 - ar^2 + ar^2 = 3 3 = 3

Уравнение выполняется, что подтверждает, что найденные значения a, ar и ar^2 удовлетворяют условиям задачи.

Таким образом, знаменатель арифметической прогрессии равен 0 < r < 1.