Question

Решите уравнение . Укажите корни, принадлежащие отрезку . 6cos ^2x−7cosx−5=0 [−π; 2π]

Answer 1

$6cos^2x-7cosx-5=0$
делаем замену:
$a=cosx,\ a \in [-1;1]$
получим:
$6a^2-7a-5=0$
решим это уравнение:
$D=49+20*6=169=13^2 \\a_1= \frac{7+13}{12} = \frac{20}{12} \notin [-1;1] \\a_2= \frac{7-13}{12} =- \frac{6}{12} =- \frac{1}{2} \in [-1;1]$
обратная замена:
$cosx=- \frac{1}{2} \\x_{1,2}=\pm arccos(- \frac{1}{2})+2\pi n \\x_{1,2}=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n \in Z$
проводим отбор корней на промежутке $[-\pi;2\pi]$
Для этого решим следующие неравенства, при условии что n целое число:
$-\pi\leq \frac{2\pi}{3}+2\pi n\leq 2\pi \\-1\leq \frac{2}{3}+2n\leq 2 \\-1- \frac{2}{3} \leq 2n\leq 2- \frac{2}{3} \\- \frac{5}{3} \leq 2n \leq \frac{4}{3} \\- \frac{5}{6} \leq n \leq \frac{2}{3} \\n=0;\ x_1= \frac{2\pi}{3} +2\pi *0= \frac{2\pi}{3} \\-\pi\leq -\frac{2\pi}{3}+2\pi n\leq 2\pi \\-1\leq - \frac{2}{3}+2n\leq 2 \\ \frac{2}{3} -1 \leq 2n\leq 2+ \frac{2}{3} \\- \frac{1}{3} \leq 2n \leq \frac{8}{3} \\- \frac{1}{6} \leq n \leq \frac{4}{3}$
$n=0;\ x_2= -\frac{2\pi}{3} +2\pi *0=-\frac{2\pi}{3} \\n=1;\ x_3= -\frac{2\pi}{3} +2\pi= \frac{6\pi-2\pi}{3}= \frac{4\pi}{3}$
Ответ: корни уравнения: $x_{1,2}=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n \in Z$; корни на отрезке: $\pm \frac{2\pi}{3} ;\ \frac{4\pi}{3}$