Question

Нужна помощь! Задача 4. При каком p вершина параболы y = (x^2) + px + 58 находится на расстоянии 10 от начала координат, если известно, что вершина параболы лежит в третьей четверти.

Answer 1

Сначала найдем координаты вершины параболы:
xв = -p/2 < 0
yв = (-p/2)^2+p*(-p/2)+58=-p^2/4+58 < 0.
Наложены ограничения на значения вершины параболы, так как она находится в третьей четверти.
Пусть начало координат - точка A(0;0), вершина параболы - точка B(-p/2;-p^2/4+58). Тогда вектор AB равен (0-(-p/2);0-(-p^2/4+58))=(p/2;p^2/4-58)
Его длина равна 10. Это значит, что (p/2)^2+(p^2/4-58)^2=10^2.
Пусть (p/2)^2=t.
Тогда t+(t-58)^2=10^2
t^2-116t+58^2+t-10^2=0
t^2-115t+58^2-10^2=0
D=(-115)^2-4(58^2-10^2)=115^2-(2*58)^2+(2*10)^2=115^2-116^2+20^2=(115-116)*(115+116)+400=400-231=169=13^2.
t1,2=(115+-13)/2
То есть t1=128/2=64, t2=102/2=51.
При t=64 проверим наложенные на yв и xв условия:
t=p^2/4,
yв=58-t=58-64=-6 < 0 - подходит.
Теперь находим xв: xв=-p/2=-√t, так как xв < 0. -p/2=-8 => p=16.
При t=51 yв=58-51=7 > 0 - не подходит, так как yв должна быть меньше 0.
Ответ: 16.