Question

Плоский угол при вершине правильной четврехугольной пирамиды равен 60°, а боковое ребро равно 6. Найдите объем конуса, вписанного в пирамиду.

Answer 1

MABCD правильная пирамида.
МА=6, <AMB=60°

ΔAMB: MA=MB=6, <M=60°, => ΔAMB правильный. АВ=6

ΔАВС: AB=BC=6, <B=90°.
по теореме Пифагора АС²=АВ²+ВС². АС=6√2
АО=ОС=3√2

ΔМОА: <MOA=90°, MA=6, AO=3√2
по теореме Пифагора: 
MA²=AO²+MO², MO²=6²-(3√2)²
MO²=18. MO=3√2

конус вписан в пирамиду. найти V конуса.
$V= \frac{1}{3}* S_{osn}*H S_{osn}= \pi R ^{2}$
$V= \frac{1}{3}* \pi *R ^{2} *H$
R=AB/2, R=3. H=3√2
$V= \frac{1}{3} * \pi *3 ^{2} *3 \sqrt{2} V=9 \sqrt{2} * \pi$