Question

По контуру квадратной трассы по часовой стрелке едут велосипед и две машины, скорости которых постоянны и различны, при этом велосипед медленнее машин. Найдите скорость велосипеда (в км/ч), если скорости машин равны 55 км/ч и 165 км/ч, а все обгоны происходят только в вершинах квадрата.

Answer 1

Пусть сторона квадрата равна a; В начальный момент времени все находятся в одной вершине квадрата.

Заметим, что скорость второй машины ровно в три раза превосходит скорость первой. Тогда первый обгон между двумя машинами случится тогда, когда первая проедет 2a (вторая проедет 3×2a=6a); Поэтому все обгоны между машинами будут в вершинах.

Пусть скорость велосипеда равна v; $v\frac{4a}{55-v}=na, \; n\in \mathbb{N} \Leftrightarrow \frac{4v}{55-v}\in \mathbb{N}$(i); Аналогично

$\frac{4v}{165-v}\in \mathbb{N}$(ii); $4v>165-v \Leftrightarrow v\geq33$(*); Также $v<55$(**); Переставляя элементы в (i) получим равносильное утверждение: $55n \equiv 0 \mod n+4$;

Рассмотрим  числа n и n+4: $\gcd(n,n+4)\leq 4$; Рассмотрим все нечетные n; Тогда n и n+4 взаимно просты, а значит $55\equiv 0 \mod n+4$; Получаем числа n∈{1,7,51}; Рассмотрим числа n такие, что

$n \equiv 2 \mod 4$; Тогда $55 \equiv 0 \mod\frac{n+4}{2}$; Получаем числа n∈{6,18,106}; Осталось рассмотреть числа n, такие, что

$n \equiv 0 \mod 4$; Отсюда  $55 \equiv 0 \mod\frac{n+4}{4}$;

Тогда n∈{16,40,216}; Всего: n∈{1,6,7,16,18,40,51,106,216};

$v=\frac{55n}{n+4}\in \{11,33,35,44,45,50,51,53,54\}$;

Условию (ii) удовлетворяет только число 33;

Ответ: 33 км/ч