Question

Шесть почти черных пиратов закопали добытое золото и монеты на необитаемом острове и пустили в бега. Через год первый пират вернулся на остров разделил все монеты на 6 равных частей одна монета оказалась лишней пират забрал себе одну из частей и лишним монету а остальное закопал то же самое сделали. То же самое сделали остальные пираты причём никто из них не знал о действиях других. Через много лет ученный археолог наткнулся на Закопане монеты. Какое наименьшее количество монет мог найти археолог

Answer 1

Начнём считать с конца и посмотрим, как можно представить количество монет после действий какого-нибудь из пиратов:

Каждый пират забирал одну монету и 1/6 остатка. Пусть количество монет после действия пирата равно 5k, тогда до его действий монет было 6k + 1, при этом k - целое число. При этом 6k + 1 должно представляться в виде 5k (кроме, возможно, изначального количества монет).

Так как 5k ≡₅ 0 и 6k + 1 ≡₅ 0, то 6k ≡₅ -1, откуда k ≡₅ -1. Значит, 5k можно представить в виде 5ᵃ * k - 5. Посмотрим, сколько монет было одной операцией назад:

(5ᵃ * k - 5) : 5 * 6 + 1 = (5^(a-1) * k - 1) * 6 + 1 = 5^(a-1) * 6k - 5. Заметим, что "-5" сохраняется, а "a" уменьшается на 1. Пусть k не делится на 5 (иначе поделим k на 5 и увеличим a на 1), тогда k должно быть в конце (в начале при подсчёте с конца) наименьшим из возможных, значит, k должно быть равно 1. В начале a должно было быть наименьшим из возможных (в конце при подсчёте с конца), иначе можно было бы домножить k на 5, так как обратных операций больше не будет. Значит, в конце a = 6, а k = 1.

5⁶ * 1 - 5 = 15620.

Ответ: 15620 монет.

P.S. Верность ответа проверена с помощью программы на языке Python.