Question

Найдите общее решение дифференциального уравнения y'- y=x^2e^x

Answer 1

Найдем множитель D(x) такой что:
D(x)*y' - D(x)*y = (D(x)*y)';
D(x)*y' - D(x)*y = D'*y+D*y';
-D*y = D'*y;
-D = D'; dD/dx = -D;
dD/D = -dx;
ln|D| = C-x;
|D| = e^(C-x) = e^C/e^x;
D = A/e^x; A это константа, положим А=1,
D = e^(-x).
Домножим исходное диф. уравнение на e^(-x).
e^(-x)*y' - e^(-x)*y = x^2;
левая часть последнего = (e^(-x)*y)' = x^2;
Интегрируем
e^(-x)*y = (x^3/3) + C;
y = e^(x)*( (x^3/3) + C).
Проверка: y' = (e^x)*( (x^3/3) + C) + (e^x)*(x^2) =
= e^(x)*( (x^3/3)+x^2+C),
y' - y = e^(x)*( (x^3/3) + x^2 + C - (x^3/3) - C) = (e^x)*(x^2).