Question

Вычислить неопределенный интеграл dx/cos^2(x)*(2tgx+1)

Answer 1

Решается подведением под знак интеграла.
Полное решение во вложении.$\int\limits^- _ - { \frac{1}{ cos^{2}x*(2tgx+1) } } \, dx = \frac{1}{2}* \int\limits^-_- { \frac{d(2tgx+1)}{2tgx+1} } \,= \frac{1}{2} Ln|2tgx+1| +Const$
Внимание! Чёрточки над и под знаком интеграла не пишите - оформить по-другому не получилось.

Answer 2

Для вычисления данного неопределенного интеграла воспользуемся методом замены переменной.

Обозначим: u = tg(x), тогда du = dx/(cos^2(x)).

Таким образом, исходный интеграл примет вид: ∫ (dx/cos^2(x)) * (2tg(x) + 1) = ∫ du * (2u + 1) = ∫ (2u^2 + u) du

Теперь проинтегрируем полученное выражение: ∫ (2u^2 + u) du = (2/3)u^3 + (1/2)u^2 + C,

где C - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходной переменной x: (2/3)tg^3(x) + (1/2)tg^2(x) + C.

Таким образом, неопределенный интеграл ∫ (dx/cos^2(x)) * (2tg(x) + 1) равен (2/3)tg^3(x) + (1/2)tg^2(x) + C.