Question

5.7. Пусть МN — средняя линия треугольника ABC, соединяющая середины сторон АВ и ВС, площадь треугольника MBN равна 8. Найдите площадь треугольника ABC.

Answer 1

Треугольники подобны и коэффициент подобия k=2
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (равно 4)
Значит, площадь большого треугольника равна 8*4=32

Answer 2

Пусть точки М и N - середины сторон AB и BC соответственно.

Так как MN - это средняя линия треугольника ABC, то треугольник ABC делится этой линией на два равных треугольника - AMN и MNC. Значит, площадь треугольников AMN и MNC равна половине площади треугольника ABC.

По условию, площадь треугольника MNB равна 8. Так как треугольники AMN и MNC равны по площади, то площадь каждого из них равна 8/2 = 4.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он состоит из трех частей: AMN, MNC и ANB. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих трех частей.

Так как треугольники AMN и MNC имеют площадь 4, то площадь треугольника ANB равна площади треугольника ABC минус площадь треугольников AMN и MNC: S(ANB) = S(ABC) - S(AMN) - S(MNC) = S(ABC) - 4 - 4 = S(ABC) - 8.

Из условия задачи известно, что площадь треугольника MNB равна 8. Так как треугольники ANB и MNB имеют общую высоту, то их площади относятся как стороны, из которых опущена эта высота. То есть S(ANB) / S(MNB) = AN / MN = 2.

Так как площадь треугольника MNB равна 8, то площадь треугольника ANB равна 8 * 2 = 16.

Итак, у нас есть площадь треугольника ANB, равная 16, и выражение для площади треугольника ABC через площадь треугольников ANB, AMN и MNC: S(ABC) = S(ANB) + S(AMN) + S(MNC) + 8.

Подставляем известные значения: S(ABC) = 16 + 4 + 4 + 8 = 32.

Получаем, что площадь треугольника ABC равна 32.