Question

Определить все а,при каждом из которых уравнение sin^2x+5sinxcosx+acos^2x=0" не имеет решения

Answer 1

Разделим на cos²x≠0
tg²x+5tgx+a=0
tgx=m
m²+5m+a=0
D=25-4a<0
4a>25
a>6,25
a∈(6,25;∞)

Answer 2

Дано уравнение: sin^2x + 5sinxcosx + acos^2x = 0.

Для определения значений a, при которых уравнение не имеет решения, нужно рассмотреть дискриминант квадратного трёхчлена.

Уравнение можно представить в виде квадратного трёхчлена, где sinx - переменная, а a - параметр: asin^2x + 5sinxcosx + acos^2x = 0.

Дискриминант такого квадратного трёхчлена вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac.

В данном случае, b = 5sinxcosx, a = a, c = acos^2x.

Подставим значения b, a и c в формулу дискриминанта и упростим выражение:

D = (5sinxcosx)^2 - 4aacos^2x.

D = 25sin^2x * cos^2x - 4aacos^2x.

D = 25sin^2x * cos^2x - 4a(1 - sin^2x).

D = 25sin^2x * cos^2x - 4a + 4asin^2x.

D = 25sin^2x * cos^2x + 4asin^2x - 4a.

Теперь, чтобы уравнение не имело решений, дискриминант должен быть меньше нуля: D < 0.

Подставим значение дискриминанта и упростим неравенство:

25sin^2x * cos^2x + 4asin^2x - 4a < 0.

Разделим обе части неравенства на 25sin^2x и упростим:

cos^2x + (4asin^2x - 4a)/(25sin^2x) < 0.

cos^2x + (asin^2x - a)/(25sin^2x) < 0.

Так как 0 <= sin^2x <= 1, то выражение (asin^2x - a)/(25sin^2x) имеет значения от -a/25 до a/25.

Таким образом, чтобы неравенство cos^2x + (asin^2x - a)/(25sin^2x) < 0 выполнялось при всех значениях x, необходимо и достаточно, чтобы cos^2x < 0.

Однако, квадрат косинуса не может быть отрицательным, так как cos^2x >= 0 для любого x.

Следовательно, уравнение sin^2x + 5sinxcosx + acos^2x = 0 не имеет решений для любых значений a.