Question

1. Дмитро опрацював 15 питань. Він упевнений, що на 10 з них відповів. правильно. Якщо Дмитро відповість правильно на всі питання, що залишились у тесті, він пройде тест рівно на 80%. Скільки питань у тесті? 2. Розв’язати систему рівнянь: x+y=2,xy+xz+yz=5,x²+y²+z²=6. Довести нерівність: (1 + 1x )(1 + 1y) ≥ 9, якщо x + y =1, x > 0, y > 0. 3. На сторонах ВС, СА, АВ трикутника АВС взяті точки А1, В1, С1 такі, що ВА1 : АС1 = СВ1 : В1А = АС1 : С1В = 1 : 2. При перетині відрізків АА1, ВВ1, СС1 утворюється трикутник. Знайти відношення площі цього трик до площі трикутнику АВС

Answer 1

1. 25 питань
5-20%
х-100%
х=5*100\20=25

Answer 2

1. Щоб відповісти на перше питання, спочатку визначимо, скільки питань залишилося в тесті після того, як Дмитро відповів на 10 питань правильно. Запишемо це як рівняння:

15 - 10 = 5

Отже, залишилося 5 питань в тесті, на які Дмитро ще не відповів правильно.

Тепер ми знаємо, що якщо Дмитро відповість правильно на всі залишкові питання, він пройде тест на 80%. Щоб знайти загальну кількість питань в тесті, використаємо пропорцію:

10 правильних відповідей / загальна кількість питань = 80% / 100%

10 / X = 80 / 100

Ми можемо спростити це рівняння, помноживши обидві сторони на X:

10 = 0.8X

Тепер поділимо обидві сторони на 0.8, щоб знайти значення X:

X = 10 / 0.8

X = 12.5

Тому загальна кількість питань у тесті становить 12.5. Оскільки питання зазвичай бувають цілими числами, ми можемо заключити, що в тесті 12 питань.

2. Щоб розв'язати систему рівнянь: x + y = 2 xy + xz + yz = 5 x² + y² + z² = 6

Ми можемо використати метод підстановки або метод елімінації для знаходження значень змінних x, y і z.

Спробуємо метод підстановки: З першого рівняння ми можемо виразити x = 2 - y. Підставимо це значення в друге і третє рівняння:

(2 - y)y + (2 - y)z + yz = 5 (2 - y)² + y² + z² = 6

Розкриємо дужки і спростимо рівняння:

2y - y² + 2z - yz + yz = 5 4 - 4y + y² + y² + z² = 6

Зведемо подібні доданки:

2y + 2z - 2y² + z² = 1 2y + 2z - 2y² + z² = 1

Тепер ми маємо систему рівнянь: 2y + 2z - 2y² + z² = 1 2y + 2z - 2y² + z² = 1

Це система рівнянь з двома змінними y і z. Щоб розв'язати її, ми можемо використати метод підстановки або метод елімінації.

3. Щоб знайти відношення площі трикутника, утвореного при перетині відрізків АА1, ВВ1 і СС1, до площі трикутника АВС, спочатку знайдемо площі обох трикутників.

Використовуючи формулу площі трикутника s = (a * h) / 2, де a - довжина сторони, h - висота, ми можемо знайти площі трикутників АВС та АА1ВВ1СС1.

Для трикутника АВС, сторони АВ, ВС і СА взяті з трикутника АВС. Таким чином, площа трикутника АВС дорівнює:

S_ABC = (AB * AC) / 2

Для трикутника АА1ВВ1СС1, сторони АА1, ВВ1 і СС1 дорівнюють половині довжини відрізків АА1, ВВ1 і СС1, які ми обчислили раніше. Таким чином, площа трикутника АА1ВВ1СС1 дорівнює:

S_A1B1C1 = (AA1 * BB1) / 2

Відношення площі трикутника АА1ВВ1СС1 до площі трикутника АВС дорівнює:

S_A1B1C1 / S_ABC

Підставляючи значення сторін трикутників АА1ВВ1СС1 і АВС, ми можемо обчислити це відношення.