Question

Разложить степень . (1+2x)5

Answer 1

(1+2x)5=5×1+2x×5=5+10x

Answer 2

Конечно, давайте разложим степень выражения \((1 + 2x)^5\), используя бином Ньютона. Формула бинома Ньютона для разложения степени \((a + b)^n\) выглядит следующим образом:

\[(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k,\]

где \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\).

В данном случае у нас \(a = 1\), \(b = 2x\), и \(n = 5\). Подставим значения в формулу:

\[(1 + 2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k \cdot 1^{5-k} \cdot (2x)^k.\]

Теперь вычислим биномиальные коэффициенты:

\[C_5^0 = 1,\] \[C_5^1 = 5,\] \[C_5^2 = 10,\] \[C_5^3 = 10,\] \[C_5^4 = 5,\] \[C_5^5 = 1.\]

Теперь подставим полученные значения:

\[(1 + 2x)^5 = 1 \cdot 1^5 \cdot (2x)^0 + 5 \cdot 1^4 \cdot (2x)^1 + 10 \cdot 1^3 \cdot (2x)^2 + 10 \cdot 1^2 \cdot (2x)^3 + 5 \cdot 1^1 \cdot (2x)^4 + 1 \cdot 1^0 \cdot (2x)^5.\]

Упростим каждый из членов:

\[1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5.\]

Таким образом, разложение степени \((1 + 2x)^5\) равно \(1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5\).