Question

Филателист Валерий решил разложить все свои марки поровну в 2 конверта, но оказалось, что одна марка лишняя. Когда он разложил их поровну в 3 конверта, лишней снова оказалась одна марка; когда он разложил их поровну в 5 конвертов, лишними оказались 3 марки; наконец, когда он попытался их разложить поровну в 9 конвертов, осталось 7 марок. Сколько всего марок у Валерия, если недавно, для того чтобы разместить их все у себя, ему пришлось купить третий альбом на 160 марок, так как двух таких же альбомов уже не хватало?

Answer 1

 Решил методом подбора, т.е. нам нужна сумма чисел : число на 2; на 3; на 5; и на 9; без остатка  от 321 до 480  это будет 360 и двухзначное число которое при делении на 9 давало в остатке 7, при делении на 5 давало в остатке 3, при делении на 3 давало в остатке 1, при делении на 2 давало в остатке 1. это число 43.
360+43=403 марки всего у Валерия.
Ответ:403,

Answer 2

Давайте обозначим количество марок у Валерия за \( x \). Тогда у нас есть следующая информация:

1. Когда он разложил их поровну в 2 конверта, оказалась одна марка лишней. Это означает, что \( x \) делится на 2 с остатком 1. 2. Когда он разложил их поровну в 3 конверта, опять оказалась одна марка лишней. Это означает, что \( x \) делится на 3 с остатком 1. 3. Когда он разложил их поровну в 5 конвертов, оказалось, что лишними стали 3 марки. Это означает, что \( x \) делится на 5 с остатком 3. 4. Когда он попытался разложить их поровну в 9 конвертов, осталось 7 марок. Это означает, что \( x \) делится на 9 с остатком 7.

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{align*} x &\equiv 1 \pmod{2} \\ x &\equiv 1 \pmod{3} \\ x &\equiv 3 \pmod{5} \\ x &\equiv 7 \pmod{9} \end{align*} \]

Решив эту систему, мы найдем значение \( x \), которое представляет собой общее количество марок у Валерия.

Обратите внимание, что существует несколько способов решить эту систему. Один из возможных способов - использовать китайскую теорему об остатках или метод подбора. В данном случае, используем метод подбора:

1. Сначала найдем число, которое соответствует условиям \( x \equiv 1 \pmod{2} \) и \( x \equiv 1 \pmod{3} \). Таким числом является 7.

2. Проверим, удовлетворяет ли это число условиям \( x \equiv 3 \pmod{5} \). Если нет, прибавим 6 (произведение 2 и 3) к числу 7. Получим 13.

3. Проверим, удовлетворяет ли 13 условиям \( x \equiv 7 \pmod{9} \). Если нет, прибавим 18 (произведение 2 и 9) к числу 13. Получим 31.

Таким образом, \( x = 31 \). Но это еще не ответ на задачу, потому что Валерий купил третий альбом на 160 марок. Так что общее количество марок у Валерия:

\[ x + 160 = 31 + 160 = 191 \]

Итак, у Валерия 191 марка.