Question

Оптовая база обслуживает 8 магазинов. От каждого из них за-явка на товары на следующий день может поступить с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что на следующий день базой будет получено не менее 6 заявок.

Answer 1

Решение нам даст формула Бернулли
Производится n независимых испытаний. Вероятность события p, вероятность его отсутствия q = 1-p
Вероятность того, что событие  наступит ровно в  испытаниях определяется по формуле
$P_n(m) = C_n^m\cdot p^m\cdot q^{n-m} = \frac{n!}{(n-m)!m!}\cdot p^m\cdot (1-p)^{n-m}$вероятность получения не менее 6 заявок равна сумме вероятностей получения 6, 7 и 8 заявок
P_8(6) = 8!/2!/6!*0.25^6*0.75^2 = 63/16384
P_8(7) = 8!/1!/7!*0.25^7*0.75^1 = 3/8192
P_8(8) = 8!/0!/8!*0.25^8*0.75^0 = 1/65536
P_8(6)+P_8(7)+P_8(6) = 277/65536

Answer 2

Дано: оптовая база обслуживает 8 магазинов, и вероятность поступления заявки на товары с каждого магазина на следующий день составляет 0,25.

Найти: вероятность того, что на следующий день базой будет получено не менее 6 заявок.

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением, так как мы ищем вероятность успеха (поступления заявки) при фиксированном количестве независимых попыток (магазины).

Вероятность поступления заявки на товары от каждого магазина составляет 0,25, а вероятность отсутствия заявки - 0,75.

Так как мы ищем вероятность получения не менее 6 заявок, нужно найти вероятность получения 6, 7 и 8 заявок и сложить их.

Вероятность получения 6 заявок: P(X=6) = C(8, 6) * (0,25)^6 * (0,75)^2, где C(8, 6) - количество сочетаний из 8 элементов по 6.

Вероятность получения 7 заявок: P(X=7) = C(8, 7) * (0,25)^7 * (0,75)^1

Вероятность получения 8 заявок: P(X=8) = C(8, 8) * (0,25)^8 * (0,75)^0

Теперь сложим эти вероятности: P(X>=6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)

Вычислим каждое слагаемое:

C(8, 6) = 8! / (6! * (8-6)!) = 28 P(X=6) = 28 * (0,25)^6 * (0,75)^2

C(8, 7) = 8! / (7! * (8-7)!) = 8 P(X=7) = 8 * (0,25)^7 * (0,75)^1

C(8, 8) = 8! / (8! * (8-8)!) = 1 P(X=8) = 1 * (0,25)^8 * (0,75)^0

Подставим значения:

P(X=6) = 28 * (0,25)^6 * (0,75)^2 P(X=7) = 8 * (0,25)^7 * (0,75)^1 P(X=8) = 1 * (0,25)^8 * (0,75)^0

P(X>=6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)

Вычислим каждое слагаемое и итоговую вероятность:

P(X=6) = 28 * (0,25)^6 * (0,75)^2 = 28 * 0,000244140625 * 0,5625 = 0,003437042236 P(X=7) = 8 * (0,25)^7 * (0,75)^1 = 8 * 0,000060386475 * 0,75 = 0,000181159425 P(X=8) = 1 * (0,25)^8 * (0,75)^0 = 1 * 0,000015258789 * 1 = 0,000015258789

P(X>=6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) = 0,003437042236 + 0,000181159425 + 0,000015258789 = 0,00363346045

Ответ: вероятность того, что на следующий день базой будет получено не менее 6 заявок, равна 0,00363346045 или округленно 0,36%.