Question

Найдите наибольшее трёхзначное число, при делении которого на 4 получается в остатке 3, при делении на 5 – в остатке 4, а при делении на 6 – в остатке 5.

Answer 1

Искомое число представимо трояко

$N = 4a+3 = 5b+4 = 6c+5\\ 6c+2 = 5b+1 = 4a$

Отсюда мы видим, что числа 6c, 5b, 4a - три последовательных натуральных трехзначных числа. Найдем наибольшую тройку с таким свойством

1) Очевидно, что число 5b не может кончаться на 0, так как 5b+1 будет нечетным и на 4 не разделится. Значит 5b кончается на 5, 4a кончается на 6 и 6с кончается на 4

2) Отметим, что чтобы число 4a, которое кончается на 6 делилось на 4, его вторая цифра должна быть (по признаку делимости) нечетна четна, то есть

4a = x16 или x36 или x56 или x76 или x96

3) Отметим, что, число 6с, которое которое кончается на 4, уже делится на 2. Чтобы оно еще делилось на 3, надо чтобы сумма двух первых цифр при делении на 3 давала остаток 2, тогда сумма всех трех цифр будет делиться на 3.

Так как мы ищем наибольшую тройку, мы попробуем найти ее в последней сотне и сказать, что старшая всех трех чисел равна 9. Теперь очевидно, что и средняя цифра всех трех чисел одинакова, и поэтому мы выбираем ее среди нечетных, но чтобы ее сумма с девяткой еще и делилась на 3 с остатком 2. Самая большая средняя цифра, таким образом, 5. (так как 9+5=14 и в остатке при делении на 3 дает 2, а 7 и 9 не подходят по этой же причине)

Значит наша тройка чисел - это 954, 955, 956, ну а искомое число это 956+3 = 959. Из доказательства следует, что больше нельзя

Ответ 959

Answer 2

Давайте обозначим искомое число как \(N\). Условия задачи можно записать в виде трех уравнений:

1. \(N \mod 4 = 3\) 2. \(N \mod 5 = 4\) 3. \(N \mod 6 = 5\)

Решим эти уравнения поочередно.

1. Уравнение \(N \mod 4 = 3\) означает, что остаток от деления \(N\) на 4 равен 3. Такие числа имеют вид \(4k + 3\), где \(k\) — целое число. Таким образом, \(N\) может быть записано в виде \(N = 4k + 3\).

2. Уравнение \(N \mod 5 = 4\) означает, что остаток от деления \(N\) на 5 равен 4. Такие числа имеют вид \(5m + 4\), где \(m\) — целое число. Таким образом, \(N\) может быть записано в виде \(N = 5m + 4\).

3. Уравнение \(N \mod 6 = 5\) означает, что остаток от деления \(N\) на 6 равен 5. Такие числа имеют вид \(6n + 5\), где \(n\) — целое число. Таким образом, \(N\) может быть записано в виде \(N = 6n + 5\).

Теперь мы можем объединить эти три выражения:

\[ \begin{align*} N &= 4k + 3 \\ N &= 5m + 4 \\ N &= 6n + 5 \end{align*} \]

Посмотрим на первые два уравнения. Мы знаем, что \(N\) имеет вид \(4k + 3\) и одновременно \(5m + 4\). Таким образом, можно записать:

\[4k + 3 = 5m + 4\]

Теперь рассмотрим уравнения 2 и 3. Мы знаем, что \(N\) имеет вид \(5m + 4\) и одновременно \(6n + 5\). Таким образом, можно записать:

\[5m + 4 = 6n + 5\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[4k + 3 = 5m + 4\] \[5m + 4 = 6n + 5\]

Решим их систему. Решение этой системы будет представлять собой число \(N\). Ответы будут целыми числами, так как \(k\), \(m\), и \(n\) — целые числа.