Question

Исследовать на монотонность и найти точки экстремума функции: y=((1/3)*x^3)-((5/2)*x^2)+6*x

Answer 1

$y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{5}{2}x^2+6x \\ y' = x^2 - 5x + 6 \\ x^2 - 5x + 6 = 0 \\ D = 25 - 24 = 1 \\ x_{1} = 3 \ x_{2} = 2$

              +        ][              -       ][             +

-----------------o-----------------o--------------->

                       2                     3                     x

Иследовать на монотонность то есть найти промежутки убывания и возрастания.

убывет на ̣[2 ; 3]

возрастает ( - беск; 2] , [ 3 ; + беск)

Экстремумы 2 и 3

Answer 2

Чтобы исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума, нужно выполнить несколько шагов: найти производную функции, определить интервалы монотонности, найти точки, в которых производная равна нулю или не существует, и провести исследование на экстремумы.

Данная функция:

\[y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x\]

1. Найдем производную функции:

\[y' = x^2 - 5x + 6\]

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

\[x^2 - 5x + 6 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Факторизуем его или используем квадратное уравнение:

\[(x-2)(x-3) = 0\]

Отсюда получаем две точки, в которых производная равна нулю: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 3\).

3. Исследуем интервалы монотонности:

Для этого используем тестирование знаков производной. Выберем тестовые точки на каждом интервале между точками, где производная равна нулю (то есть интервалах \((- \infty, 2)\), \((2, 3)\), и \((3, +\infty)\)).

- Для интервала \((- \infty, 2)\) возьмем \(x = 0\). \[y' (0) = (0)^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6 > 0\]

- Для интервала \((2, 3)\) возьмем \(x = 2.5\). \[y' (2.5) = (2.5)^2 - 5 \cdot 2.5 + 6 = 2.5 > 0\]

- Для интервала \((3, +\infty)\) возьмем \(x = 4\). \[y' (4) = (4)^2 - 5 \cdot 4 + 6 = 6 > 0\]

4. Итог:

- На интервале \((- \infty, 2)\) производная положительна, значит, функция возрастает. - На интервале \((2, 3)\) производная также положительна, значит, функция возрастает. - На интервале \((3, +\infty)\) производная также положительна, значит, функция возрастает.

Таким образом, функция \(y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x\) монотонно возрастает на всей области определения.

5. Найдем точки экстремума:

Так как функция монотонно возрастает на всей области определения, нет точек локального минимума или максимума.

Таким образом, функция не имеет точек экстремума, а на всей области определения монотонно возрастает.