Question

тригонометрические уравнения(решить) ctg2x=ctgx cos2x+3=4cosx

Answer 1

2cos^2 x - 1+3-4cosx=0
2cos^2 x-4cosx+2=0

D=16-16=0

x1=1

 

 

 

Answer 2

Для решения тригонометрических уравнений, нам нужно найти значения переменной, которые удовлетворяют заданным уравнениям. В данном случае у нас есть два уравнения:

1. ctg(2x) = ctg(x) + cos(2x) 2. cos(2x) + 3 = 4cos(x)

Давайте решим их по очереди.

Решение уравнения ctg(2x) = ctg(x) + cos(2x)

Для начала, преобразуем данное уравнение, используя тригонометрические тождества. Заметим, что ctg(x) = 1/tan(x), а cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. Тогда уравнение можно записать следующим образом:

1/tan(2x) = 1/tan(x) + 2cos^2(x) - 1.

Далее, умножим обе части уравнения на tan(2x) и заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x) (используя тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1):

1 = tan(2x)/tan(x) + 2(1 - sin^2(x)) - tan(2x).

Теперь преобразуем уравнение, используя замену tan(2x) = 2tan(x)/(1 - tan^2(x)):

1 = (2tan(x)/(1 - tan^2(x)))/(tan(x)) + 2(1 - sin^2(x)) - 2tan(x)/(1 - tan^2(x)).

Далее, упростим уравнение:

1 = 2tan(x)/(1 - tan^2(x)) + 2 - 2sin^2(x) - 2tan(x)/(1 - tan^2(x)).

2 - 2sin^2(x) = 0.

Умножим обе части на -1:

2sin^2(x) - 2 = 0.

Делаем замену y = sin(x):

2y^2 - 2 = 0.

Решим это квадратное уравнение:

2y^2 = 2, y^2 = 1, y = ±1.

Таким образом, получаем два возможных значения для sin(x): sin(x) = 1 и sin(x) = -1.

Используя соответствующие тригонометрические тождества, мы можем найти значения переменной x:

Для sin(x) = 1: x = π/2 + 2πn, где n - любое целое число.

Для sin(x) = -1: x = 3π/2 + 2πn, где n - любое целое число.

Решение уравнения cos(2x) + 3 = 4cos(x)

Для начала, преобразуем данное уравнение:

cos(2x) + 3 = 4cos(x).

Заметим, что cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. Подставим это в уравнение:

2cos^2(x) - 1 + 3 = 4cos(x).

Упростим уравнение:

2cos^2(x) - 4cos(x) + 2 = 0.

Разделим уравнение на 2:

cos^2(x) - 2cos(x) + 1 = 0.

Теперь факторизуем уравнение:

(cos(x) - 1)^2 = 0.

Решим это квадратное уравнение:

cos(x) - 1 = 0, cos(x) = 1.

Таким образом, получаем единственное значение для cos(x): cos(x) = 1.

Используя соответствующее тригонометрическое тождество, мы можем найти значение переменной x:

x = 2πn, где n - любое целое число.

Таким образом, решениями уравнений являются:

1. x = π/2 + 2πn, где n - любое целое число. 2. x = 3π/2 + 2πn, где n - любое целое число. 3. x = 2πn, где n - любое целое число.

Пожалуйста, обратите внимание, что я решил уравнения и предоставил возможные значения переменной x. Проверьте эти значения, подставив их обратно в исходные уравнения, чтобы убедиться, что они действительно являются решениями.