Question

Какой остаток при делении на 7 дает число 2^99?

Answer 1

2^99=2^(3*33)=(2^3)^33=8^33

 

число 2^99 равно числу 8^33,

8 при делении на 7 дает остаток 1, поэтому и произведение 8^33 даст остаток 1=1*1*1*1...1*1

остаток произведения равен произведению остатков

 

т.е. данное число при делении на 7 даст остаток 1

Answer 2

Для определения остатка при делении числа на 7, можно воспользоваться свойствами остатков при возведении в степень. Мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая утверждает, что если \(p\) — простое число, а \(a\) не делится на \(p\), то

\[a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.\]

В данном случае \(p = 7\), поэтому мы можем использовать эту теорему. Заметим, что \(7 - 1 = 6\), поэтому \(2^6 \equiv 1 \pmod{7}\).

Теперь мы можем выразить \(2^{99}\) в виде:

\[2^{99} = (2^6)^{16} \cdot 2^3 \equiv 1^{16} \cdot 8 \equiv 8 \pmod{7}.\]

Таким образом, остаток при делении \(2^{99}\) на 7 равен 1.