Question

у прямокутному трикутнику висота і бісектриса проведені з вершини прямого кута відповідно дорівнюють h і l . Визначити площу трикутника. h=0,5, a l=0,7

Answer 1

У прямокутному трикутнику АВС:

ВМ=0,5 - висота

ВN=0,7 - бісектриса

Трикутник МВN - прямокутний

ВМ/BN=cos <MBN=0,5:0,7=0,7142

<MBN=44°30'

<MBC=45°+44°30' = 89°30'

BM/MC=cos 89°30' = 0,0087

MC=0,5 : 0,0087 = 57,5

<ABM=90°- 89°30' = 30'

AM/BM=sin 30'

AM=BM*sin 30' = 0,5*0,0087 = 0,00435

АС=АМ+МС=57,5+0,00435=57,50435

S=AC*BM : 2

S = 57,50435 * 0,5 : 2 = 57,50435 ≈ 57,5

Відповідь: площа трикутника 57,5

Answer 2

Задача стосується прямокутного трикутника, у якого висота \( h \) і бісектриса \( l \) проведені з вершини прямого кута. Також нам дані значення: \( h = 0.5 \) і \( l = 0.7 \). Щоб знайти площу трикутника, нам потрібно знайти довжину катетів та гіпотенузи.

Позначимо катети через \( a \) і \( b \), а гіпотенузу через \( c \). За теоремою Піфагора маємо:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Також відомо, що висота і бісектриса поділяють прямокутний трикутник на дві подібні прямокутні трикутники. Таким чином, відношення сторін в обох таких трикутниках є однаковим:

\[ \frac{h}{a} = \frac{l}{b} \]

Знаючи значення \( h = 0.5 \) і \( l = 0.7 \), можемо використовувати їх для визначення катетів.

\[ \frac{0.5}{a} = \frac{0.7}{b} \]

Розв'язавши це рівняння, отримаємо відношення \( \frac{a}{b} \). Позначимо його за \( k \):

\[ k = \frac{a}{b} \]

Тепер можна виразити \( a \) і \( b \) через цей коефіцієнт:

\[ a = kb \]

Тепер ми можемо підставити це вираження в рівняння Піфагора:

\[ c^2 = (kb)^2 + b^2 \]

\[ c^2 = k^2b^2 + b^2 \]

\[ c^2 = b^2(k^2 + 1) \]

\[ b = \frac{c}{\sqrt{k^2 + 1}} \]

Аналогічно можна виразити \( a \):

\[ a = \frac{kc}{\sqrt{k^2 + 1}} \]

Тепер, знаючи \( a \) і \( b \), можна знайти площу трикутника, використовуючи стандартну формулу для площі прямокутного трикутника:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

Підставимо значення:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{kc}{\sqrt{k^2 + 1}} \cdot \frac{c}{\sqrt{k^2 + 1}} \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{kc^2}{k^2 + 1} \]

Тепер можна підставити дані \( k \), \( h \) та \( l \) і знайти значення площі трикутника.