Question

РЕШИТЕ ПЛИЗ ОЧЕНЬ НАДО ЖЕЛАТЕЛЬНО НА ЛИСТОЧКЕ И ПОНЯТНО а.2cos^2x=корень из 3 sin(3П/2-x) б.найдите все корни уравнения принадлежащие [-П/2;П]

Answer 1

2cos²x=-√3cosx
2cos²x+√3cosx=0
cosx(2cosx+√3)=0
cosx=0                              2cosx+√3=0
x=π/2+πn, n∈Z                   cosx=-√3/2
                                         x=+-(π-π/6)+2πn
                                         x=+-5π/6+2πn, n∈Z

Answer 2

Конечно, давайте решим данные уравнения.

Уравнение а: \(2\cos^2(x) = \sqrt{3}\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)\)

1. Преобразование уравнения: Перепишем уравнение, используя тригонометрические тождества: \[ 2\cos^2(x) = \sqrt{3}\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \] \[ 2(1 - \sin^2(x)) = \sqrt{3}\cos(x) \]

Теперь заметим, что \(\frac{3\pi}{2} - x\) соответствует углу в третьем квадранте, где \(\sin\) отрицателен, а \(\cos\) положителен. Таким образом, можем заменить \(\sin\) на \(-\sin\) и \(\cos\) на \(-\cos\): \[ 2(1 - \sin^2(x)) = -\sqrt{3}\cos(x) \]

Теперь выразим \(\sin^2(x)\) через \(\cos^2(x)\), используя тождество \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\): \[ 2(2\cos^2(x) - 1) = -\sqrt{3}\cos(x) \] \[ 4\cos^2(x) - 2 = -\sqrt{3}\cos(x) \]

Приведем это уравнение к квадратному виду: \[ 4\cos^2(x) + \sqrt{3}\cos(x) - 2 = 0 \]

2. Решение квадратного уравнения: Используем квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 4\), \(b = \sqrt{3}\), \(c = -2\): \[ \cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ \cos(x) = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 32}}{8} \] \[ \cos(x) = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{35}}{8} \]

Так как \(\cos(x)\) ограничен от -1 до 1, то у нас есть два корня: \[ \cos(x) = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{35}}{8} \] и \[ \cos(x) = \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{35}}{8} \]

3. Найти значения \(x\): Используя арккосинус, найдем значения \(x\): \[ x_1 = \arccos\left(\frac{-\sqrt{3} + \sqrt{35}}{8}\right) \] \[ x_2 = \arccos\left(\frac{-\sqrt{3} - \sqrt{35}}{8}\right) \]

Уравнение б: Найдите все корни уравнения, принадлежащие \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\)

Уточните, пожалуйста, какое уравнение имеется в виду в пункте б.