Question

Вася взял десять различных цифр 0, 1, 2, . . . , 9 и составил из них два пятизначных числа (каждая цифра используется один раз). Затем он сложил по- лучившиеся числа. Могло ли в результате получиться число, состоящее из трех единиц и трех пятерок?

Answer 1

Заметим, что т. к. сумма цифр полученного числа равна 1 + 1 + 1 + 5 + 5 + 5 = 18, то оно кратно 9. Следовательно и каждое из образованных Васей пятизначных чисел должно быть кратно 9. Подсчитаем сумму цифр от 0 до 9. Она равна (1 + 9)*9/2 = 45. Поскольку 45 = 9 + 36 = 18 + 27, то сумма цифр одного из пятизначных чисел должна равняться 9 или 18, а другого 36 или 27. Девятка не представима в виде суммы пяти различных цифр. Значит подходит вариант 18 и 27. Составляем, к примеру, числа  70182 и 45369. Действительно, их сумма 70182 + 45369 = 115551 состоит из трех единиц и трех пятерок.

Ответ: Могло.

Answer 2

Давайте обозначим два пятизначных числа, которые Вася составил, как ABCDE и FGHIJ, где каждая буква представляет собой одну из цифр от 0 до 9.

Так как числа пятизначные и составлены из десяти различных цифр, то каждая цифра должна встречаться ровно один раз в каждом из чисел.

Теперь Вася сложил эти два числа:

\[ ABCDE + FGHIJ \]

Если мы предположим, что в результате сложения получится число, состоящее из трех единиц и трех пятерок, то это число может быть представлено как 11155 или 15511 (или аналогичные комбинации). Обратите внимание, что такое число состоит из трех одинаковых цифр и двух других одинаковых цифр.

Теперь рассмотрим, какие суммы могут быть получены при сложении двух пятизначных чисел:

- Первый столбец (единицы): \( E + J \) - эта сумма может быть 0, 1, 2, ..., 18. - Второй столбец (десятки): \( D + I + (возможно перенос) \) - эта сумма также может быть в пределах от 0 до 18. - Третий столбец (сотни): \( C + H + (возможно перенос) \) - аналогично, эта сумма может быть в пределах от 0 до 18. - Четвертый столбец (тысячи): \( B + G + (возможно перенос) \) - также в пределах от 0 до 18. - Пятый столбец (десятки тысяч): \( A + F + (возможно перенос) \) - в пределах от 0 до 18.

Теперь рассмотрим возможные варианты для столбца единиц:

1. \( E + J = 5 \) (единицы в результирующем числе) 2. \( E + J = 15 \) (пятерки в результирующем числе)

Таким образом, возможные комбинации:

1. \( E = 0, J = 5 \) или \( E = 5, J = 0 \) (если сумма единиц равна 5) 2. \( E = 1, J = 4 \) или \( E = 4, J = 1 \) (если сумма единиц равна 15)

При этом мы видим, что не существует таких значений для единиц, при которых было бы возможно получить результирующее число, состоящее из трех единиц и трех пятерок. Таким образом, ответ на ваш вопрос: нет, в результате сложения чисел Васи не может получиться число, состоящее из трех единиц и трех пятерок.