Question

3. Для каждой пары различных натуральных чисел a и b, не боль-ших 20, Петя нарисовал на доске прямую y = ax+b (то есть он на-рисовал прямые y = x+2, …, y = x+20, y = 2x+1, y = 2x+3,…, y = 2x+20, …, y = 3x+1, y = 3x+2, y = 3x+4, …, y = 3x+20, …, y = 20x+1, …, y = 20x+19). Вася нарисовал на той же доске окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Сколь-ко Петиных прямых пересекает Васину окружность?

Answer 1

РЕШЕНИЕ
Для каждого числа от 1 до 20 получаем такие числа прямых пересекающих окружность:
a = 1 -  одна - только y= x+1 
a = 2 -  две - y = 2x+1, 2x+2
a = 3 - три - y = 3x+1, 3x+2, 3x+3
и далее до а = 20.
Находим сумму чисел от 1 до 20
S = (1+20)* 10 = 210 шт прямых пересекут окружность - ОТВЕТ
Рисунок к задаче.
http://prntscr.com/hg92q6

Answer 2

Петя нарисовал прямые вида y = ax + b, где a и b - различные натуральные числа, не большие 20.

Для каждого a от 1 до 20, существует 20 возможных значений b (от 1 до 20), поэтому всего Петя нарисовал 20 * 20 = 400 прямых.

Вася нарисовал окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Уравнение этой окружности: x^2 + y^2 = 1.

Чтобы найти количество прямых, пересекающих окружность, нужно найти точки пересечения прямых с уравнением окружности.

Подставим уравнение прямой y = ax + b в уравнение окружности:

x^2 + (ax + b)^2 = 1

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x^2 + a^2x^2 + 2abx + b^2 = 1

Полученное уравнение является квадратным уравнением относительно x. Решим его.

(1 + a^2)x^2 + 2abx + (b^2 - 1) = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения равен:

D = (2ab)^2 - 4(1 + a^2)(b^2 - 1)

Чтобы найти количество решений этого уравнения, нужно посмотреть на знак дискриминанта.

Если D > 0, то уравнение имеет 2 различных решения, то есть прямая пересекает окружность в 2 точках. Если D = 0, то уравнение имеет 1 решение, то есть прямая касается окружности. Если D < 0, то уравнение не имеет решений, то есть прямая не пересекает окружность.

Таким образом, для каждой пары a и b нужно посчитать значение дискриминанта и определить, сколько решений у уравнения.

Итак, посчитаем количество прямых, пересекающих окружность:

Для каждой пары a и b (от 1 до 20), вычисляем значение дискриминанта D. Если D > 0, увеличиваем счетчик на 2. Если D = 0, увеличиваем счетчик на 1.

После перебора всех пар a и b, получим общее количество прямых, пересекающих окружность.