Question

Вася записал себе в тетрадку 11 последовательных натуральных чисел. Посмотрев в тетрадку, Петя записал одно из этих чисел,причём получилось так, что сумма без этого числа равняется 1046. Какое число загадал Петя?

Answer 1

Ответ:

109

Пошаговое объяснение:

данную задачу можно решить с помощью формул арифметической прогрессии

Sn = (2a₁ + d*(n - 1)) * n / 2  -  сумма последовательных натуральных чисел

где: n=11 - количество чисел

d = 1 - разность арифметической прогрессии (т.к. последовательные натуральные числа)

аₓ - то число которое загадал Петя

аₓ  = a₁ + d*(х - 1)  - формула для вычисления х-ого члена арифметической прогрессии

где: х - количество чисел от первого члена арифм. прогрессии до числа, которое загадал Петя

х  = от 1 до 11

Sn -  аₓ = 1046

((2a₁ + d*(n - 1)) * n / 2)  - (a₁ + d*(х - 1)) = 1046

((2a₁ + 1*(11 - 1)) ⋅* 11 / 2)  - (a₁ + 1*(х - 1)) = 1046

((2a₁ + 1*10) * 11 / 2) - (a₁ + х - 1) = 1046

((2a₁ + 10) * 11 / 2) - (a₁ + х - 1) = 1046

((22a₁ + 110) / 2) - (a₁ + х - 1) = 1046

(11a₁ + 55) - (a₁ + х - 1) = 1046

11a₁ + 55  - a₁ - х + 1 = 1046

10a₁ + 56 - х = 1046

10a₁  - х = 1046 - 56

10a₁  - х = 990

10a₁  = 990 + х

a₁ = (990 + х) /10

подберем х, так что бы a₁ было целое число (a₁ -натуральное число)

a₁ = (990 + 1) /10 = 99,1 , следовательно х=1 не подходит

a₁ = (990 + 2) /10 = 99,2 , следовательно х=2 не подходит

a₁ = (990 + 3) /10 = 99,3 , следовательно х=3 не подходит

a₁ = (990 + 4) /10 = 99,4 , следовательно х=4 не подходит

a₁ = (990 + 5) /10 = 99,5 , следовательно х=5 не подходит

a₁ = (990 + 6) /10 = 99,6 , следовательно х=6 не подходит

a₁ = (990 + 7) /10 = 99,7 , следовательно х=7 не подходит

a₁ = (990 + 8) /10 = 99,8 , следовательно х=8 не подходит

a₁ = (990 + 9) /10 = 99,9 , следовательно х=9 не подходит

a₁ = (990 + 10) /10 = 100 , следовательно х=10  подходит

вывод: Петя загадал число, которое является 10-м членом ариф. прогрессии.

a₁ =100 - первый член арифметической прогрессии

a₂ =101; a₃ =102; a₄ =103; a₅ =104; a₆ =105; a₇ =106; a₈ =107; a₉ =108;

a₁₀ =109 - число загадал Петя ( десятый член арифметической прогрессии)

a₁₁ = 110

Проверка:

S₁₁ = (2a₁ + d*(n - 1)) *n / 2  = (2*100 + 1*(11 - 1)) ⋅ 11 / 2 =  (200 + 1*(10)) * 11 / 2 =  (200 + 10) * 11 / 2 = 210*11 /2 = 1150 - сумма 11-ти последовательных натуральных чисел.

S₁₁ - a₁₀ = 1150-109 = 1046 -ВЕРНО

Ответ: 109 - число загадал Петя

Answer 2

Давайте разберем эту задачу по шагам.

1. Вася записал в тетрадку 11 последовательных натуральных чисел. Пусть первое из этих чисел будет x.

2. Так как числа последовательные, то следующие числа будут x + 1, x + 2, x + 3, и так далее, до x + 10.

3. Петя выбрал одно из этих чисел и записал его, пусть это число будет y.

4. Сумма всех 11 чисел, которые записал Вася, равна сумме арифметической прогрессии:

S = x + (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + 10)

5. Теперь нам известно, что сумма всех чисел без числа, которое записал Петя (y), равна 1046:

S - y = 1046

6. Теперь мы можем подставить сумму S в уравнение:

(x + (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + 10)) - y = 1046

7. Сгруппируем члены с одинаковыми x:

(11x + (1 + 2 + 3 + ... + 10)) - y = 1046

8. Теперь вычислим сумму чисел от 1 до 10:

1 + 2 + 3 + ... + 10 = (10 * 11) / 2 = 55

9. Подставим это значение в уравнение:

(11x + 55) - y = 1046

10. Теперь перенесем 55 на другую сторону уравнения:

11x - y = 1046 - 55 11x - y = 991

11. Теперь у нас есть система уравнений:

11x - y = 991 S - y = 1046

12. Мы знаем, что S - y = 1046, поэтому можно заменить S на 1046 в первом уравнении:

11x - y = 991 1046 - y = 1046

13. Решим второе уравнение относительно y:

y = 1046 - 1046 y = 0

14. Теперь, когда мы знаем, что y = 0, подставим это значение в первое уравнение:

11x - 0 = 991

15. Упростим уравнение:

11x = 991

16. Разделим обе стороны на 11, чтобы найти x:

x = 991 / 11 x = 90

Итак, Вася записал в тетрадку 11 последовательных натуральных чисел, начиная с 90 и заканчивая 100. Петя выбрал число 0.